Сумма цифр трехзначного числа равна произведению его цифр

Могут ли среди цифр числа $N$ быть нули?
Может ли среди цифр числа $N$ быть ровно две единицы?
Может ли среди цифр числа $N$ вообще не быть единиц?

Ответ: $N = 231$
Пусть $N = 100a + 10b + c$
Тогда $abc = a + b + c$
Заметим, что среди цифр числа $N$ нет нулей.

Пусть среди цифр $N$ ровно две единицы, например $a > 1, b = c = 1$
Тогда $a + 2 = a$. Противоречие

Пусть число $N$ не содержит единиц.
Пусть $a\ge2, b\ge2, c\ge2$.
$c = \frac{a +b}{ab – 1} \ge 2$.
$a + b \ge 2ab – 2$
$2 \le a \le \frac{b +2}{2b - 1}$
$b \le \frac{4}{3}$. Противоречие.

Итак, число $N$ содержит ровно одну единицу.
Пусть $x$ и $y$ – цифры числа $N$, отличные от единицы.
Тогда $x + y + 1 = xy$.
$x = (y + 1)/(y – 1) = 1 + 2/(y – 1)$.
$y – 1$ должно быть делителем числа $2$.
Итак, $y = 2, x = 3$ или $ y= 3, x = 2$.
Число $N$ состоит из цифр $1, 2, 3$
С учетом делимости на $7$ ответ $231$