Много девяток

$a_1 = 9$
$a_2 = 22599$
Если число оканчивается $m$ девятками, то оно имеет вид $p\cdot10^m – 1$, где $p$ – натуральное число

Ответ: Да, верно
Покажем, что если $a_k$ оканчивается $m$ девятками, то есть имеет вид $a_k = p\cdot10^m – 1$ ($p$ – натуральное число), то $a_{k+1}$ оканчивается не меньше, чем $2m$ девятками.
$a_{k+1} = 3\cdot(p\cdot10^m – 1)^4 + 4\cdot(p\cdot10^m – 1)^3 = 3 -12\cdotp\cdot10^m – 4 + 12\cdotp\cdot10^m + N\cdot10^{2m} = N\cdot10^{2m} – 1$, то есть $a_{k+1}$ оканчивается не меньше, чем $2m$ девятками.
Так как $a_1 = 9$, то $a_{10}$ оканчивается не меньше, чем на $2^{10} > 1000$ девяток