Два квадратных трехчлена

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
Форумы Список тем Новая тема
14.10.2025 22:31
koh
Два квадратных трехчлена
Условие

Даны различные квадратные трехчлены $f(x) $ и $g(x) $, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что $f(1) + f(10) + f(100) = g(1) + g(10) + g(100) $. При каких $x$ выполняется равенство $f(x) = g(x) $?


Обозначим $f(x) = x^2 + ax + b, g(x) = x^2 + px + q$.
$111a + 3b = …$



Ответ: $x = 37$
Обозначим $f(x) = x^2 + ax + b, g(x) = x^2 + px + q$.
$f(1) + f(10) + f(100) = 1 + a +b + 100 + 10a + b + 10000 + 100a + b$
$g(1) + g(10) + g(100) = 1 + p +q + 100 + 10p + q + 10000 + 100p + q$
Отсюда
$111a + 3b = 111p + 3q$
и
$37^2 + 37a + b = 37^2 + 37p + q$, то есть
$f(37) = g(37)$

Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти