Условие Пусть $S = a + a^2 + … + a^n$, где $a$ и $n$ – натуральные числа. Последняя цифра числа $S$ равна $1$. Какие значения может принимать последняя цифра числа $a$?
Ясно, что последняя цифра числа $a$ не может принимать значения $0, 2, 4, 5, 6, 8$
Ответ: Последняя цифра числа $a$ может быть равна только $1$ Ясно, что последняя цифра числа $a$ не может принимать значения $0, 2, 4, 5, 6, 8$ Предположим, что последняя цифра $a$ равна $3, 7$, или $9$. Тогда последняя цифра выражения $a + a^2 + a^3 + a^4$ равна нулю и, значит, последняя цифра выражения $a^{k+1} + a^{k+2} + a^{k+3} + a^{k+4} $ равна нулю (так как последняя цифра числа $a^4$ равна $1$ и последняя цифра числа $a^5$ равна последней цифре числа $a$). Остается проверить, что числа $a + a^2$ и $a + a^2 + a^3$ не могут оканчиваться единицей. $a + a^2$ – четно, Последняя цифра числа $a + a^2 + a^3$ равна $9$. Если последняя цифра числа $a$ равна $1$, то последняя цифра $S$ может быть сделана равной $1$ (когда последняя цифра числа $n$ равна $1$)
