Александр и Борис играют в следующую игру. Написан многочлен $x^{10} + *x^9 + *x^8 + *x^7 + *x^6 + *x^5 + *x^4 + *x^3 + *x^2 + *x + 1$. Сначала Александр заменяет любую из звездочек некоторым числом, затем Борис заменяет числом любую из оставшихся звездочек, затем снова Александр заменяет одну из звездочек числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает Александр, а если будет хотя бы один корень, то выигрывает Борис. Кто выигрывает при правильной игре?
Выигрывает Борис
Ответ: Выигрывает Борис Покажем, как должен играть Борис. Всего нужно заменить на числа 9 звездочек – 5 при нечетных степенях и 4 при четных. Каждым своим ходом Борис должен ставить любой коэффициент при степени, имеющей противоположную четность по отношению к коэффициенту, который только что поставил Александр. Тогда после семи ходов останется две звездочки при степенях $x^k$ и $x^m$, причем хотя бы одно из чисел $k$ и $m$ нечетно и ход у Бориса. Обозначим $P$ многочлен, который получится, если заменить звездочки при $x^k$ и $x^m$ нулями, $\alpha$ – коэффициент при $x^k$ и $\beta$ – коэффициент при $x^m$, который поставят игроки. Тогда после замены всех звездочек получится многочлен $F(x) = P(x) + \alpha x^k + \beta x^m$. Разберем два случая.
1) $k$ – четно, $m$ – нечетно. $F(1) = P(1) + \alpha + \beta$ $F(-1) = P(-1) + \alpha - \beta$ $F(1) + F(-1) = P(1) + P(-1) + 2\alpha$ Борис должен выбрать $\alpha = \frac{-P(1) - P(-1)}{2}$. Тогда независимо от последнего хода Александра окажется $F(1) + F(-1) = 0$. Значит, либо $F(1) = F(-1) =0$, либо $F(1) $ и $F(-1) $ имеют разные знаки и тогда на отрезке $ [-1;1] $ у многочлена $F$ есть корень.
2) $k$ и $m$ – нечетны. $F(-1) = P(-1) - \alpha - \beta$ $F(2) = P(2) + \alpha 2^k + \beta 2^m$ $2^m F(-1) + F(2) = c + \alpha (2^k – 2^m) $, где $c = 2^m P(-1) + P(2) $ Борис должен выбрать $\alpha = \frac{c}{2^m – 2^k} $. Тогда независимо от последнего хода Александра окажется $2^m F(-1) + F(2) = 0$. Значит, либо $F(-1) = F(2) =0$, либо $F(-1) $ и $F(2) $ имеют разные знаки и тогда на отрезке $ [-1;2] $ у многочлена $F$ есть корень.
