Обозначим $a_n$ целое число, ближайшее к $\sqrt{n}$. Найти сумму $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + … + \frac{1}{a_{2025}}$.
Неравенство $ k – \frac{1}{2} < \sqrt{x} < k + \frac{1}{2}$ имеет в натуральных числах $2k$ решений
Ответ: $89$ Обозначим $]a[$ целое число, ближайшее к $a$. Вычислим первые члены последовательности. $a_1 = ]\sqrt{1}[ = 1, a_2 = ]\sqrt{2}[ = 1, …: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, …$ Отметим, что $1$ встречается $2$ раза, $2$ встречается $4$ раза, $3$ встречается $6$ раз. Поэтому предполагаем, что в нашей последовательности каждое натуральное число $k$ встречается $2k$ раз. Для доказательства этого предположения достаточно показать, что неравенство $ k – \frac{1}{2} < \sqrt{x} < k + \frac{1}{2}$ имеет в натуральных числах $2k$ решений. Действительно, возведя каждую из частей неравенства в квадрат, получим равносильное неравенство $k^2 – k + \frac{1}{4} < x < k^2 + k + \frac{1}{4}$, которое имеет $2k$ решений: $k^2 – k + 1, k^2 – k + 2, …, k^2 + k$ Искомая сумма равна $\frac{1}{]\sqrt{1}[} + \frac{1}{]\sqrt{2}[} + ... + \frac{1}{]\sqrt{2025}[} = (\frac{1}{1} + \frac{1}{1}) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + ... + (\frac{1}{44} + \frac{1}{44} + ...+ \frac{1}{44}) + (\frac{1}{45} + \frac{1}{45} + ... + \frac{1}{45})$ Сумма чисел в каждой круглой скобке кроме последней равна $2$. Последняя круглая скобка содержит $45$ слагаемых (от $\frac{1}{a_{1981}}$ до $\frac{1}{a_{2025}}$), сумма чисел в ней равна $1$.
