Сумма квадратов последовательных членов геометрической прогрессии

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
01.12.2025 21:03
koh
Сумма квадратов последовательных членов геометрической прогрессии
Условие

Рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой – целые числа.
А) Верно ли, что сумма квадратов трех последовательных членов прогрессии делится на сумму этих членов?
Б) Верно ли, что сумма квадратов четырех последовательных членов прогрессии делится на сумму этих членов?


А) $ (a_{k-1} + a_k + a_{k+1})^2 = (a_{k-1}^2 + a_k^2 + a_{k+1}^2) + 2a_k(a_{k-1} + a_k + a_{k+1})$
Б) Рассмотрите геометрическую прогрессию $1, 2, 4, 8, 16, \ldots $



Ответ: А) Да, верно. Б) Нет, неверно
А) Поскольку $a_{k-1}a_{k+1} = a_k^2$, получаем
$ (a_{k-1} + a_k + a_{k+1})^2 = (a_{k-1}^2 + a_k^2 + a_{k+1}^2) + 2a_k(a_{k-1} + a_k + a_{k+1})$
Следовательно
$a_{k-1}^2 + a_k^2 + a_{k+1}^2 = (a_{k-1} + a_k + a_{k+1})(a_{k-1} - a_k + a_{k+1})$
Б) Рассмотрим геометрическую прогрессию $1, 2, 4, 8, 16, \ldots $
$1^2 + 2^2 + 4^2 + 8^2 = 85$ не делится на $1 + 2 + 4 + 8 = 15$




Редактировалось 1 раз(а). Последний 07.12.2025 23:12.
Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти