Разрезать квадрат на три попарно различных и попарно подобных прямоугольника

Да, можно (см. рисунок 1)

Ответ: Да, можно
На рисунке 2 изображено разбиение квадрата на 3 прямоугольника и указаны их размеры.
Для подобия прямоугольников достаточно справедливости равенства $1 – x = (x(1 – x(1 – x)) $, которое выполняется при $x \approx 0.56979$. Тогда во всех прямоугольниках отношение большей стороны к меньшей равно $\frac{1}{x}$