Оканчивается на 5?

Рассмотрите $n = k + 20$

Ответ: Нет, не может
Покажем, что числа $k^2 + 2^k$ и $(k + 20)^2 + 2^{k + 20}$ оканчиваются одинаковой цифрой.
$k^2$ и $ (k + 20)^2 = k^2 + 40k + 400$ оканчиваются одинаковой цифрой.
$2^{k + 20} = 2^{20}\cdot2^k$.
Так как $2^{20}$ оканчивается на $6$, то $2^k$ и $2^{k + 20}$ оканчиваются одинаковой цифрой.
Итак, числа $k^2 + 2^k$ и $(k + 20)^2 + 2^{k + 20}$ оканчиваются одинаковой цифрой.
Поэтому достаточно проверить нечетные числа от $1$ до $19$ (очевидно, что $n$ должно быть нечетным), чтобы убедиться, что среди соответствующих чисел $n^2 + 2^n$ нет чисел, оканчивающихся на $5$.
Отметим, что $n^2 + 2^n$ может оканчиваться на $1, 3, 7, 9$:
$13^2 + 2^{13} = 8361$
$1^2 + 2^1 = 3$
$3^2 + 2^3 = 17$
$11^2 + 2^{11} = 2169$