Шесть различных натуральных чисел, для любых из них A и B сумма A + B делится на разность A – B

Да, существуют

Ответ: Да, существуют, например, $\{30, 35, 36, 40, 42, 45\}$
Покажем, как можно строить сколь угодно длинные наборы таких чисел.
Пусть $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ – набор из $n$ натуральных чисел, удовлетворяющий условию задачи.
Тогда $n + 1$ чисел $\{a_1 \cdot a_2\cdot, \ldots, \cdot a_n, a_1\cdota_2\cdot, \ldots, \cdota_n + a_1, \ldots, a_1\cdota_2\cdot, \ldots, \cdota_n + a_n\}$ также будут удовлетворять условию.
Действительно, $2\cdota_1\cdota_2\cdot, …, \cdota_n + a_i$ делится на $a_i$; $2\cdota_1\cdota_2\cdot, \ldots, \cdota_n + a_i + a_j$ делится на $a_j – a_i$ (так как $2\cdota_1\cdota_2\cdot, \ldots, \cdota_n$ делится и на $a_i$ и на $a_j$, и $a_i + a_j$ делится на $a_j – a_i$ в силу выбора набора $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$.
Таким способом можно получить наборы любой длины: $\{1\}, \{1, 2\}, \{2, 3, 4\}, \{24, 26, 27, 28\}$ и т.д.
Приведем также «минимальные» наборы: $\{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{2, 3, 4, 6\}, \{6, 8, 9, 10, 12\}, \{30, 35, 36, 40, 42, 45\}$