Замена тройки положительных чисел (a, b, c) на тройку (|a – b|, |b – c|, |c – a|)
Условие
Пусть $(a, b, c)$ – тройка положительных чисел. Образуем из них новую тройку: $(|a – b|, |b – c|, |c – a|)$, затем из этой тройки по тому же правилу следующую тройку и т.д. Обязательно ли среди полученных таким образом чисел встретится $0$, если исходные числа А) целые; В) действительные?
А) Да Б) Нет
А) Ответ: Да, обязательно Обозначим максимальное число в первой тройке $ (a, b, c) $ через $m$. Ясно, что максимальное число в каждой следующей тройке, по крайней мере, на $1$ меньше, чем в предыдущей. Максимальное число во второй тройке не больше $m -1$, в третьей – не больше, чем $m – 2$ и т.д. Не далее как в $m$–й тройке максимальное число окажется равным нулю
Б) Нет, не обязательно. Приведем пример Пусть исходная тройка имеет вид $ (\lambda, \lambda^2, \lambda^3) $, где $\lambda$ выбрана так, что числа в следующей тройке $ (|\lambda^2 – \lambda|, |\lambda ^3 – \lambda^2|, |\lambda^3 – \lambda|)$ пропорциональны числам первой тройки. Так как $\lambda^2 – \lambda = \lambda\cdot(\lambda – 1) $ $\lambda^3 – \lambda^2 = \lambda^2\cdot(\lambda – 1) $ $\lambda^3 – \lambda = (\lambda^2 + \lambda)\cdot(\lambda – 1) $, то возьмем $\lambda$ равным положительному корню уравнения $\lambda^2 + \lambda = \lambda^3$, то есть $\lambda = \frac{1 + \sqrt{5}}{/2}$. При этом $n$––я тройка будет такой: $(\lambda\cdot(\lambda – 1)^{n – 1}, \lambda^2\cdot(\lambda – 1)^{n – 1}, \lambda^3\cdot(\lambda – 1)^{n – 1})$. Ни одно из чисел не будет равно нулю
Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.02.2026 20:07.
