Выпуклый многоугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги
Условие
Вершины выпуклого $n$–угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, причем внутри и на его сторонах других узлов нет. Чему может равняться $n$ – число сторон $n$–угольника?
Используйте четность/нечетность координат вершин
Ответ: $n$–угольник может иметь $n=3$ или $n=4$ сторон Предположим, что $n \geq 5$. Введем на плоскости систему координат так, чтобы координатные оси являлись линиями клетчатой бумаги. Тогда точки узлов клетчатой бумаги имеют целочисленные координаты. Около каждой вершины $n$–угольника напишем две буквы. На первом месте напишем Ч, если первая координата вершины четная, и Н – в противном случае; аналогично на втором месте напишем Ч, если вторая координата вершины четная, и Н, если она нечетная. Так как всего имеется четыре различные пары (ЧЧ, ЧН, НЧ, НН), а $n \geq 5$, то найдутся две вершины $A$ и $B$ многоугольника, около которых написаны одинаковые наборы букв. Пусть $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) $. Середина $C$ отрезка $AB$ лежит внутри многоугольника или на его стороне (так как многоугольник выпуклый). Так как $x_1$ и $x_2$ имеют одинаковую четность, то абсцисса точки $C$, равная $\frac{x_1 + x_2}{2}$ будет целым числом, аналогично $C$ имеет целочисленную ординату. Таким образом, точка $C$ лежит в узле клетчатой бумаги. Противоречие
