$P(x) $ – многочлен с натуральными коэффициентами. Для каждого натурального числа $n$ через $a_n$ обозначим сумму цифр в десятичной записи числа $P(n) $. Верно ли, что найдется число, которое встречается в последовательности $a_1, a_2, a_3, \ldots$ бесконечное число раз?
Пусть $P(x) = c_nx^n + c_{n–1}x^{n-1} + … + c_1x + c_0, c_n\neq0 $; числа $c_n, c_{n-1}, …, c_0$ – натуральные. Рассмотрите $P(10^k)$, где $k$ – натуральное число такое, что $10^k > max(c_n, c_{n-1}, …, c_0) $.
Ответ: Да, верно. Пусть $P(x) = c_nx^n + c_{n–1}x^{n-1} + … + c_1x + c_0, c_n\neq=0$ ; числа $c_n, c_{n-1}, …, c_0$ – натуральные. Рассмотрим натуральное число $k$, такое, что $10^k > max(c_n, c_{n-1}, …, c_0) $. В десятичной записи числа $P(10^k) $ будут идти сначала цифры числа $c_n$, затем нули; затем цифры числа $c_{n-1}$, затем нули и т.д. Таким образом сумма цифр числа $P(10^k) $ равна сумме $S$ цифр всех чисел $c_n, c_{n-1}, …, c_0$, то есть $a_{10^k} = S$. Рассуждая аналогично, мы видим, что $S = a_{10^k} = a_{10^{k+1}} = a_{10^{k+2}} = \ldots $ То есть число $S$ встречается в последовательности $a_1, a_2, a_3, \ldots$ бесконечное число раз
