Сумма кубов равна нулю

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
Форумы Список тем Новая тема
26.04.2026 20:49
koh
Сумма кубов равна нулю
Условие

Вещественные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ принадлежат отрезку $ [-1; 1] $, причем сумма кубов этих чисел равна нулю.
Верно ли, что сумма $x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ не превосходит $\frac{n}{3}$?


Рассмотрите многочлен $ P \left( x \right) = 4 \cdot \left(x + 1 \right)\cdot \left(x – \frac{1}{2} \right)^2$



Ответ: Да, верно
Рассмотрим многочлен $P\left(x\right) = 4 \cdot\left(x + 1\right)\cdot\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 = \left(x + 1\right)\left(4x^2 – 4x + 1\right) = 4x^3 – 3x + 1$
Сложив $n$ очевидных неравенств $P(x_i)\geq 0, i = 1, 2, \ldots, n$, получаем
$-3\left(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\right) + n \geq 0$.
Откуда
$x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leq \frac{n}{3}$

Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти