Строго возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел, такая, что a_{mn} = a_m + a_n

Рассмотрите $n$ – натуральное число, такое, что $n > a_2$

Ответ: Нет, не существует.
Предположим, что такая последовательность существует.
Пусть $n$ – натуральное число, такое, что $n > a_2$.
Тогда $a_{2n} = a_n + a_2 < a_n + n$.
Значит натуральные числа $a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots a_{2n}$ лежат в промежутке $[a_n+1,a_n+n-1] $ различны, чего быть не может, так как в этом промежутке всего $n-1$ целое число