50 часов на столе

Для $i$–ых часов рассмотрите треугольник с такими вершинами: центр стола $O$; $A_i$ – конец минутной стрелки в момент времени $t$; $B_i$ – конец минутной стрелки через полчаса.

Ответ: Да, найдется



Для $i$–ых часов рассмотрим треугольник с такими вершинами: центр стола $O$; $A_i$ – конец минутной стрелки в момент времени $t$; $B_i$ – конец минутной стрелки через полчаса.
Центр $i$–ых часов – точка $O_i$ является основанием медианы треугольника $A_iOB_i$, проведенной из вершины $O$.
Известно, что в произвольном треугольнике удвоенная длина медианы меньше суммы длин заключающих ее сторон треугольника, то есть $2\cdot|OO_i| \leq |OA_i| + |OB_i|$, причем равенство возможно только тогда, когда угол $A_iOB_i$ равен нулю, то есть, когда точки $A_i$ и $B_i$ лежат на луче с вершиной в точке $O$.
Если в любой момент времени угол $A_iOB_i$ равен нулю, то $i$–ые часы стоят, что противоречит условию задачи.
Поэтому найдется момент времени $t$, когда угол $A_iOB_i$ не равен нулю и $2\cdot|OO_i| < |OA_i| + |OB_i$|.
Тогда для момента времени $t$ выполняется
$2\cdot(|OO_1| + |OO_2| + \ldots + |OO_{50}|) < (|OA_1| + |OA_2| + \ldots + |OA_{50}|) + (|OB_1| + |OB_2| + \ldots + |OB_{50}|)$.
Из этого неравенства следует, что либо в момент времени $t$
$|OO_1| + |OO_2| + … + |OO_{50}| < |OA_1| + |OA_2| + … + |OA_{50}|$,
либо в момент времени $t$ + полчаса
$|OO_1| + |OO_2| + … + |OO_{50}| < |OB_1| + |OB_2| + … + |OB_{50}|$.
Что и требовалось доказать.