Треугольник, составленный из высот данного треугольника, подобен ему

Ответ: $b^2 = ac$
Обозначим длины сторон исходного треугольника $a, b, c$, длины высот $h_a, h_b, h_c$.
Тогда $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c (= 2S) $, где $S$ – площадь исходного треугольника.
Пусть $a \leq b \leq c$, тогда $h_a \geq h_b \geq h_c$.
С учетом подобия должно выполняться $h_a : h_b : h_c = c : b : a$, откуда $\frac{h_a}{h_b}= \frac{c}{b}$.
С другой стороны $\frac{h_a}{h_b} = \frac{b}{a}$ (так как $a \cdot h_a = b \cdot h_b = 2S$).
Следовательно, $\frac{c}{b} = \frac{b}{a}$ или $b^2 = ac$