Найти наибольшее значение, которое может принять произведение нескольких натуральных чисел, сумма которых равна $2026$
Пусть наибольшее значение достигается для чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n (a_1 + \ldots + a_n = 2026) $. $? \leq a_j \leq ? $
Ответ: $2^2\cdot3^{673}$ Пусть наибольшее значение достигается для чисел $a_1, a_2, …, a_n (a_1 + … + a_n = 2026) $. $a_j \geq 2$ для всех $j = 1, \ldots, n$, так как $a + 1 > a \cdot 1$. $a_j \leq 4$, так как, если $a_k \geq 5$, то $a_k < 3(a_k – 3) $ (то есть $a_k - 3$ и $3$ лучше, чем $a_k$. Итак, $2 \leq a_j \leq 4$ для всех $j = 1, \ldots, n$. Далее заменим каждый сомножитель, равный $4$, двумя сомножителями, равными двум, от этого произведение не изменится. Заметим еще, что $2 + 2 + 2 = 3 + 3$, но $2 \cdot 2 \cdot 2 < 3 \cdot 3$. Окончательно, $a_j$ принимает значение $2$ или $3$, причем значение $2$ принимает не более двух $a_j$. $2026 = 674\cdot 3 + 2\cdot2$, поэтому произведение равно $2^2 \cdot 3^{674}$
