Задана сумма длин противоположных сторон и диагонали четырехугольника

Обозначим $ABCD$ – выпуклый четырехугольник, $|AB| = a, |BD| = b, |CD| = c$.
Тогда $S_{ABCD} = S_{\Delta ABD} + S_{\Delta BCD}$

Ответ: Длина другой диагонали равна $8\sqrt{2}$ см.
Пусть $ABCD$ – выпуклый четырехугольник, удовлетворяющий условию.
Обозначим $|AB| = a, |BD| = b, |CD| = c$.
Тогда $32 = S_{ABCD} \leq \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}bc$, причем равенство достигается, лишь, если $ \angle ABD = \angle BDC = \frac{\pi}{2}$.
$32 \leq \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}bc = \frac{1}{2}b \left( a+c \right) = \frac{1}{2}b \left( 16 – b \right) = 32 – \frac{1}{2} \left( 8 – b \right) ^2 \leq 32$, причем равенство достигается, лишь, если $b = 8$ см.
Отсюда $\angle ABD = \angle BDC = \frac{\pi}{2}$ и $ \left| AC \right| = 8\sqrt{2}$ см