n синих и n красных точек

Да, верно

Ответ: Да, верно
Рассмотрим всевозможные наборы из $n$ отрезков, таких, что один конец лежит в красной точке, другой – в синей точке, и никакие два отрезка не выходят из одной точки. Чтобы получить такой набор отрезков, надо как-нибудь разбить $2n$ точек на $n$ пар – по одной красной и одной синей точке в каждой паре – и соединить точки каждой пары отрезком.
Покажем, что набор отрезков, такой, что сумма длин его отрезков – минимальная из всевозможных наборов (для данных $2n$ точек) и является искомым, то есть отрезки этого набора не имеют друг с другом общих точек.
Действительно, пусть построен набор с минимальной суммой длин отрезков. Докажем, что все его отрезки не имеют общих точек. Допустим противное: пусть два отрезка $K_1C_1$ и $K_2C_2$ имеют общую точку ($K_1, K_2$ – красные точки; $C_1C_2$ – синие точки (см. рисунок)).



По условию никакие три из точек $K_1, K_2, C_1, C_2$ не лежат на одной прямой. Тогда точки $K_1, K_2, C_1, C_2$ – вершины выпуклого четырехугольника. Разумеется, сумма длин любых двух его противоположных сторон меньше суммы длин диагоналей, например, $|K_1C_2| + |K_2C_1| < |K_1C_1| + |K_2C_2|$. Заменив в наборе отрезки $K_1C_1$ и $K_2C_2$ отрезками $K_1C_2$ и $K_2C_1$, мы уменьшим сумму длин всех отрезков, что противоречит предположению