Сумма квадратов N последовательных натуральных чисел – квадрат целого числа (N = 3, 5, 7, 9, 11)?

Обозначим $S_3 = (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 3x^2 + 2$

Ответ: для $N = 3, 5, 7, 9$ не может; для $N = 11$, например, $18^2 + 19^2 +20^2 + \ldots + 28^2 = 77^2$
Обозначим $S_3 = (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 3x^2 + 2$
$S_5 = (x – 2)^2 + (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2 = 5x^2 + 10$
$S_7 = (x – 3)^2 + (x – 2)^2 + (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 = 7x^2 + 28$
$S_9 = (x – 4)^2 + (x – 3)^2 + (x – 2)^2 + (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2 = 9x^2 + 60$
$S_{11} = (x – 5)^2 + (x – 4)^2 + (x – 3)^2 + (x – 2)^2 + (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2 + (x + 5)^2 = 11x^2 + 110$
$S_3$ не может быть квадратом целого числа, так как квадрат целого числа либо делится на $3$, либо дает остаток $1$ при делении на $3$.
$S_5$ не может быть квадратом целого числа, так как $x^2 + 2$ не делится на $5$.
$S_7$ не может быть квадратом целого числа, так как $x^2 + 4$ не делится на $7$.
$S_9$ не может быть квадратом целого числа, так как $3x^2 + 20$ не делится на $3$.
$S_{11} = 11x^2 + 110 = 11(x^2 + 10) $.
Проверим, может ли $x^2 + 10$ делиться на $11$.
Тогда $x^2 – 1 = (x^2 + 10) – 11$ должно делиться на $11$.
Так как $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) $, то либо $x – 1 = 11k$, либо $x + 1 = 11m$.
При $k = 2$, получаем $x = 23, \; S_{11} = 5929 = 77^2$