Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Очевидно, что число сторон больше трех

Ответ: число сторон может быть равным $4$ или $5$
Докажем, что многоугольник с указанным свойством не может иметь более пяти сторон.
Обозначим через $n$ число сторон многоугольника и допустим, что $n \geq 6$. Пусть $A_1, A_2, \ldots, A_n$ – вершины многоугольника. Рассмотрим вершины $A_1, A_2, A_{n-2}, A_{n–1}$. Отрезки $A_1A_2$ и $A_{n-2}A_{n–1}$ являются сторонами, а отрезки $A_1A_{n-1}$ и $A_2A_{n-2}$ – диагоналями нашего многоугольника (см. рисунок).



В выпуклом четырехугольнике $A_1A_2A_{n-2}_A_{n–1}$ сумма диагоналей $A_1A_{n-2}$ и $A_2A_{n–1}$ всегда больше суммы двух его сторон $A_1A_{n-1}$ и $A_2A_{n–2}$, а это противоречит тому, что $A_1A_{n-1} = A_1A_{n–2} = A_2A_{n-1} = A_2A_{n–2}$ по условию задачи. Значит $n < 6$.
Очевидно, что $n > 3$ (в треугольнике нет диагоналей).
Для случаев же $n = 4$ и $n = 5$ многоугольники с указанным свойством легко строятся: ими являются квадрат и правильный пятиугольник.