При каких натуральных n выражение 1^n + 2^n + 3^n + 4^n делится на 10?

Достаточно рассмотреть последние цифры чисел $2^n, 3^n, 4^n$

Ответ: $1^n + 2^n + 3^n + 4^n$ делится на $10$, когда $n$ не делится на $4$
Достаточно рассмотреть последние цифры чисел $2^n, 3^n, 4^n$.
При $n = 1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ последние цифры степеней равны:
$2, 4, 8, 6, 2, \ldots$ для $2^n$;
$3, 9, 7, 1, 3, \ldots$ для $3^n$;
$4, 6, 4, 6, 4, \ldots$ для $4^n$.
Начиная с $n = 5$ цифры повторяются.
Таким образом, $1^n + 2^n + 3^n + 4^n$ делится на $10$ при $n = 1, 2, 3, 5, 6, 7$ и т.д., то есть, когда $n$ не делится на $4$