Сумма цифр в десятичной записи значения многочлена
Условие
Дан многочлен $P(x) $ с натуральными коэффициентами. Для каждого натурального числа $n$ обозначим $a_n$ сумму цифр в десятичной записи числа $P(n) $. Верно ли, что найдется число, которое встречается в последовательности $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ бесконечное число раз?
Пусть $P(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1x + c_0, c_n \neq 0$. Рассмотрите такое натуральное $m$, что $10^m$ больше всех чисел $c_n, c_{n-1}, \ldots, c_1, c_0$.
Ответ: Да, верно Пусть $P(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1x + c_0, c_n \neq 0$. Рассмотрим такое натуральное $m$, что $10^m$ больше всех чисел $c_n, c_{n-1}, \ldots, c_1, c_0$. Тогда в десятичной записи числа $P(10^m) $ будут сначала (слева) идти цифры числа $c_n$, затем нули; затем цифры числа $c_{n-1}$, опять нули и т.д. Таким образом, число $a_{10^m}$, равное сумме цифр числа $P(10^m) $ будет равно сумме $S = c_n + c_{n-1} + \ldots + c_1 + c_0$. Рассуждая аналогично, мы видим, что $S = a_{10^{m+1}} = a_{10^{m+2}} = \ldots$, то есть число $S$ действительно встречается в последовательности $a_1, a_2, \ldots, c_n, \ldots $ бесконечное число раз
