Десять натуральных чисел, сумма которых равна их произведению

Сколько единиц может быть в группе?

Ответ: $1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10$ и $1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4$
Обозначим сумму группы десяти натуральных чисел $S$, произведение – $P$.

Предположим, что имеется не больше $6$ единиц в группе, то есть в группе имеются числа $d \geq c \geq b \geq a \geq 2$. Тогда $P = abcd \geq 8d, S = a + b + c + d + 6 \leq 6 + 4d \; \rightarrow \; 4d \geq 6$. Получить $P = S$ невозможно.

Предположим, что в группе $7$ единиц, а остальные числа равны $2, 2$ и $a$. Тогда $P = 4a, S = 11 + a \; \rightarrow \; 3a = 11$. Получить $P = S$ невозможно.

Предположим, что в группе $7$ единиц, а остальные числа равны $2, 3$ и $a$. Тогда $P = 6a, S = 12 + a \; \rightarrow \; 5a = 12$. Получить $P = S$ невозможно.

Предположим, что в группе $7$ единиц, а остальные числа равны $2, a$ и $b$, причем $b \geq a \geq 3$. Тогда $P = 2ab \geq 6b, S = a +b + 9, S \leq 2b + 9 \; \rightarrow \; 4b \geq 9$. Получить $P = S$ невозможно.

Предположим, что в группе $7$ единиц, а остальные числа равны $a, b$ и $c$, причем $c \geq b \geq a \geq 3$. Тогда $P = abc \geq 9c, S = a + b + c + 7, S \leq 7 + 3c \; \rightarrow \; 6c \geq 7$. Получить $P = S$ невозможно.

Таким образом, в группе должно быть $8$ единиц (если единиц $9$, то $S = a + 1, P = a \; \rightarrow \; a = a + 1$. Получить $P = S$ невозможно).

Итак, пусть в группе $8$ единиц, а остальные числа равны $a$ и $b$, причем $b \geq a \geq 2$. Тогда $P = ab, S = a + b + 8, a = \frac {b + 8}{b – 1} = 1 + \frac{9}{b – 1}$.
$2$ решения: $b = 2, a = 10$ и $b = 4, a = 4$