Произведение шести последовательных натуральных чисел равно произведению трех последовательных натуральных чисел

Произведение шести последовательных чисел можно ограничить между двумя произведениями трех последовательных чисел.

Ответ: Нет, других таких чисел не существует.
Произведение шести последовательных чисел можно ограничить между двумя произведениями трех последовательных чисел.
Пусть шесть чисел начинаются с $n$. Обозначим их произведение как $P_{6} = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) $.
Сгруппируем сомножители попарно: $n(n+5), (n+1)(n+4) $ и $ (n+2)(n+3) $.
Пусть $t = n^2 + 5n$. Тогда выражения примут вид $t, t+4$ и $t+6$.
Перемножив их, получим формулу для шести чисел:
$P_{6}=t(t+4)(t+6)=t^{3}+10t^{2}+24t$.
Теперь рассмотрим произведение трех последовательных чисел с центральным числом $Y$. Их произведение равно $P_3 = Y^3 - Y$.
Сравним $P_{6}$ с двумя последовательными значениями для $P_{3}$:
При $Y = t+3$ произведение трех чисел равно $t^3 + 9t^2 + 26t + 24$.
При $Y = t+4$ произведение трех чисел равно $t^3 + 12t^2 + 47t + 60$.
При $n = 1$ переменная $t = 6$. Подставив её, мы получаем точное равенство $P_6 = P_3(t+3) $, что дает известное решение $720$.
При любом $n \geq 2$ значение $t > 6$. Из-за этого значение $P_{6}$ окажется строго зажатым в промежутке: $P_{3}(t+3) < P_{6} < P_{3}(t+4) $.
Так как $t$ – целое число, то $(t+3)$ и $(t+4)$ – это два соседних целых числа. Между ними нет других целых чисел, поэтому подобрать подходящее целое значение для тройки чисел больше невозможно.