Три отрезка в треугольнике, с концами на его сторонах, параллельны его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину

Рассмотрите треугольники, подобные исходному, у каждого из которых одна сторона имеет длину $x$

Ответ: $x = \frac{2abc}{ab + ac + bc} $
Рассмотрим треугольники, подобные исходному, у каждого из которых одна сторона имеет длину $x$ (на рисунке они заштрихованы).



Рассмотрим стороны заштрихованных треугольников, параллельные стороне $AC$, имеющей длину $b$; обозначим длины этих сторон $b_1, b_2, b_3$. Заметим, что сумма их длин равна $2b$: $b_1 + b_2 + b_3 = 2b$.
Отсюда $\frac{b_1}{b} + \frac{b_2}{b} + \frac{b_3}{b} = 2$, то есть сумма коэффициентов подобия этих трех треугольников равна двум.
Поэтому $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} + \frac{x}{c} = 2$, откуда $x = \frac{2abc}{ab + ac + bc} $