Игра в треугольнике

Какова наилучшая стратегия Бориса?

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{16}$
Покажем, что наилучшая стратегия Бориса ставить точку $Y$ на стороне $BC$ так, чтобы прямая $XY$ оказалась параллельна стороне $AC$.
Действительно, пусть $XY’$ параллельна $AC$, а $Y$ принадлежит $BY’$ (см. рисунок 1).



Тогда Александр своим вторым ходом ставит точку $Z$ в вершину $C$ и $S_{XYC} > S_{XY’C}$, так как у этих треугольников одинаковая высота, а основание первого больше.
Если же $Y$ принадлежит $Y’C$ (см. рисунок 2), то Александр своим вторым ходом ставит точку $Z$ в вершину $A$ и $S_{XYA} > S_{XY’A}$, так как у этих треугольников одинаковое основание, а высота у первого больше.
Поэтому $XY$ параллельна $AC$ и от того, где на $AC$ Александр поставит точку $Z$, уже ничего не зависит:
$S_{XYZ} = S_{XYA} = S_{XYC} = \frac{|XY| \cdot (H – h)}{2}, $
где $H = \frac{\sqrt{3}}{2}$ – высота треугольника $ABC$; $h$ – высота треугольника $XBY$.
Выразив $|XY|$ через $h$, получаем $S_{XYZ} = \frac{\sqrt{3} \cdot (hH – h^2)}{3}$, то есть искомая площадь является квадратным трехчленом от $h$ и принимает максимальное значение, равное $\frac{\sqrt{3}}{16}$, когда $h = \frac{H}{2}$, то есть, когда Александр ставит точку $X$ на середине отрезка $AB$