Последовательность чисел строится следующим образом. Первое число равно двум. Каждое следующее число равно сумме десятых степеней цифр предыдущего числа. Верно ли, что в этой последовательности обязательно встретятся два одинаковых числа.
Создается впечатление, что последовательность – возрастающая. Но это не так
Ответ: Да, верно Посмотрим, что за числа получаются в этой последовательности. $a_2 = 2^{10} = 1024$ $a_3 = 1^{10} + 2^{10} + 4^{10} = 1049601$ $a_4 = 1^{10} + 4^{10} + 9^{10} + 6^{10} + 1^{10} < 10^{10} + 10^{10} + 10^{10} + 10^{10} + 10^{10} = 5 \cdot 10^{10}$. $5 \cdot 10^{10}$ – это одиннадцатизначное число (пятерка с десятью нулями), значит в $a_4$ не больше одиннадцати цифр. $a_5$ – это сумма десятых степеней цифр числа $a_4$. Каждая из этих степеней меньше, чем $10^{10}$, всего цифр не больше $11$, значит $a_5$ меньше, чем двенадцатизначное число $11 \cdot 10^{10}$. $a_5$содержит не больше $12$ цифр. Рассуждая аналогично, получаем, что $a_6$ меньше $12 \cdot 10^{10}$ и имеет не больше $12 $ цифр. Повторяя это рассуждение, получаем, что в записи $a_7, a_8$ и всех последующих чисел содержится не больше $12$ цифр. Поскольку чисел, в записи которых содержится не больше $12$ цифр, конечное число, то в последовательности обязательно встретятся два одинаковых числа.
