 Форум мехмата МГУ по высшей математике
| Пользователям: | Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. |
Все посты пользователя
Консультации по решению прикладных задач высшей математики, обсуждение интересных и нестандартных математических задач и головоломок.
Ответ: 2026 - 4 дня назад
Это число 2026. Задача легко решается вручную, используя разложение на простые числа $675 = 3^3 \cdot 5^2$.автор kitonum - Высшая математика
"5" стоит на 266-ом месте - 6 дней назад
..., 124, 125, 126, 127, ...автор kitonum - Высшая математика
48 - 7 дней назад
У меня получилось 48 чисел в таком максимальном наборе двузначных чисел (если конечно я нигде не напутал). Пример такого набора: {10, 11, 13, 17, 19, 20, 23, 25, 29, 30, 31, 35, 37, 40, 41, 43, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 71, 73, 77, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 97, 98, 99}автор kitonum - Высшая математика
Всё верно - 9 дней назад
Проверил, всё верно. Без сомнения, Ваше решение и изящнее и проще. В принципе, оно доступно даже 5 - 6 класснику, т.к. не используется формула суммы г. п., а только простейшие свойства делимости. На всякий случай сделал проверку в Maple, построив явно это множество. Ниже - код и результат: restart; S:={1,2,3}: for n from 1 to 97 do S:={op(S), add(S)}; od: S; andmap(t->is(irem(add(Sавтор kitonum - Высшая математика
Краткое решение - 10 дней назад
Покажем сначала, что если для некоторого n-значного числа N справедливо равенство N=s(s+1)(s+2), то n<7. Очевидна оценка $10^{n-1}\leN<10^n$. Также очевидно, что максимально возможное значение s равно $9n$, поэтому $s(s+1)(s+2)\le9n(9n+1)(9n+2)$. Но несложно доказывается (например мат. индукцией), что для n>6 справедливо неравенство $9n(9n+1)(9n+2)<10^{n-1}$. Перебирая натуральные числавтор kitonum - Высшая математика
Дополнение - 10 дней назад
Цитатаxenia1996 ...Первые 14 членов: 7, 23, 773, 7727, 77773, 777277, 7777753, 77777327, 777777773, 7777777327, 77777777573, 777777777727, 7777777777333, 77777777772353 ... Ниже - продолжение этой последовательности вплоть до n=30: 777777777777773, 7777777777777523, 77777777777775557, 777777777777775253, 7777777777777777577, 77777777777777777233, 777777777777777775753, 77777777777777777автор kitonum - Высшая математика
Ответ - 11 дней назад
Наибольшим 15-значным простым числом, удовлетворяющим всем условиям, будет число 777777777777773 .автор kitonum - Высшая математика
Краткое решение - 13 дней назад
Из соображений чётности (нечётности) очевидно, что ровно одно из чисел $p$ или $q$ равно 2. Например, если $p=2$, то приходим к уравнению $r^2-q^2=72$. Такое уравнение в целых числах легко решается разложением на множители и рассмотрением возможных случаев. Получаем в точности 4 решения. Ответ: $(p,q,r) \in \{(2,7,11),(7,2,11), (2,17,19), (17,2,19)\}$автор kitonum - Высшая математика
Возможно - 16 дней назад
Цитатаsergeyklykov Можете ли вы (вдвоём) переформулировать (легонечко) условия для 1...15 так, что не будет ни одного решения? Возможно ли такое? Конечно возможно. Например, если числа 4 и 7 заменить на числа 9 и 12. Или ещё проще проверить отсутствие решений, если оба числа взять одной чётности.автор kitonum - Высшая математика
... - 16 дней назад
Цитатаxenia1996 ... Для чисел от 1 до 15 получается 348240 решений, если считать различными все перестановки. Если циклические сдвиги считать одной и той же расстановкой, то 23216, а если ещё не различать обход по часовой и против часовой стрелки — 11608. Перебирать все 15! перестановок при этом не нужно. Можно построить граф: соединить числа a и b, если a+b делится на 4 или на 7, а затем посчавтор kitonum - Высшая математика
... - 19 дней назад
Цитатаsergeyklykov $179526843$ 1.Стоит отметить, что указанное решение единственно, конечно с точностью до круговой перестановки и направления обхода (по или против часовой). 2. Предлагаю решить эту же задачу с другим набором чисел, например от 1 до 15. Здесь уже прямой перебор во множестве всех перестановок не пройдёт, т.к. 15! больше триллиона. Сколько всего будет решений?автор kitonum - Высшая математика
Ответ - 23 дня назад
Таким наибольшим целым будет $N=-340$ . $10\cdot328-340=30\cdot98$автор kitonum - Высшая математика
... - 23 дня назад
Цитатаxenia1996 ...А почему за два шага невозможно? Это следует из логики моего решения. Я решал на компьютере, строя дерево всех возможных вариантов. За два шага нужного списка не получается. Если интересно - могу предоставить код в Maple.автор kitonum - Высшая математика
Можно за 3 шага - 24 дня назад
Наименьшее число операций равно 3. Всего будет 8 решений. Ниже - одно из них: $[7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3] \to [5, 4, 9, 8, 7, 6, 1, 2, 3] \to [5, 4, 3, 2, 1, 6, 7, 8, 9] \to [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]$автор kitonum - Высшая математика
Единственность - 4 недели назад
Наверное авторам показалось, что решение единственно. Оно будет единственным, если дополнительно потребовать, чтобы число делилось на 11. Таким числом будет $8145362709$ .автор kitonum - Высшая математика
Могло - 5 недель назад
Таким наименьшим точным квадратом будет $220077225=14835^2$, $229977225=15165^2$автор kitonum - Высшая математика
Пояснение - 6 недель назад
Цитатаsergeyklykov Я не совсем понял задание. Это что-то , типа, $11$ делить на $11$ , $101$ на $101$, $1001$ на $1001$, $111$ на $111$ с остатком (младшей цифрой?) $1$, что ли? Если 52 поделить на 25 (т.е.число полученное из 52, если читать справа налево) , то частное и остаток равны 2. Математически это записывается как равенство $52 =2*25+2$ . Значит число 52 удовлетворяет поставленному свойсавтор kitonum - Высшая математика
Решение - 6 недель назад
Такими числами будут $52$ и любые числа вида $59...92$, в которых между пятёркой и двойкой стоит несколько девяток. В самом деле, легко проверить справедливость равенства $59...92=2\cdot29...95+2$ для любого (но равного) числа девяток слева и справа этого равенства. Частное и остаток равны $2$ .автор kitonum - Высшая математика
Решение - 6 недель назад
а) Может. 167 + 100 + 99 = 90 + 91 + 92 + 93, т.е 6 гирь достаточно. б) Нетрудно проверить, что меньшего числа гирь недостаточно.автор kitonum - Высшая математика
Ответ - 7 недель назад
Да, получается в точности 5 решений: 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 * 1/5 * 1/6 / 1/7 - 1/8 / 1/9 - 1/10, 1 + 1/2 - 1/3 * 1/4 * 1/5 * 1/6 / 1/7 / 1/8 / 1/9 - 1/10, 1 + 1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/5 * 1/6 / 1/7 - 1/8 / 1/9 - 1/10, 1 - 1/2 + 1/3 * 1/4 / 1/5 * 1/6 / 1/7 + 1/8 - 1/9 / 1/10, 1 * 1/2 + 1/3 * 1/4 / 1/5 * 1/6 / 1/7 + 1/8 - 1/9 / 1/10.автор kitonum - Высшая математика
Ответ - 7 недель назад
Всего 2 способа: $3114 = 222 + 2892$ или $3114 = 2222 + 892$автор kitonum - Высшая математика
Ручное решение - 7 недель назад
Конечно, на компьютере простейшим перебором задача решается за доли секунды. Но мне показалось интересным попробовать решить это вручную. Это можно сделать, решая несложные линейные системы из 4 уравнений. Системы получаются сложением цифр по разрядам (единиц, десятков и т.д.). Например, при сложении в разряде единиц, возможно 2 варианта: Р+О+М+А = Р+10 или Р+О+М+А = Р+20. Удовлетворяющее всем уславтор kitonum - Высшая математика
Ответы - 8 недель назад
Задача 1. Пусть искомое число ${xab}$, где $a$ - цифра десятков, $b$ - цифра единиц, $x$ - число из оставшихся цифр, если в искомом числе больше 2 цифр, иначе $x=0$. Получаем уравнение $10000x+1000a+150+b=3^n\cdot ( 100x+10a+b)$. Решая относительно $x$, получаем $x=-{\frac {10\,{3}^{n}a+{3}^{n}b-1000\,a-b-150}{100\,{3}^{n}-10000}}$. Учитывая, что $n$ не может быть больше 6, небольшой перебоавтор kitonum - Высшая математика
Ответ - 8 недель назад
Хороших чисел будет всего шесть: 386, 674, 938, 36794, 79634, 93746автор kitonum - Высшая математика
Re - 2 месяца назад
Цитатаxenia1996 Остаётся самый вкусный вопрос: почему меньшего восьмизначного числа с такими свойствами нет? Это следует из логики моего решения. Я использовал brute-forсe - метод, начиная с 10000004 и затем каждое седьмое число. Как только встречается число, удовлетворяющее всем условиям, вычисления останавливаются. Вы в своём вопросе, вероятно, подразумевали какое-то другое решение (не bruteавтор kitonum - Высшая математика
Проверка - 2 месяца назад
Цитатаxenia1996 Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет номер 111113? Проверил на компьютере, что получить 100 не удаётся, даже если цифра "3" не последняя, а стоит на любом другом месте.автор kitonum - Высшая математика
Ответы - 2 месяца назад
а) Могло. Например 1 7 8 15 6 12 11 13 10 2 9 16 14 5 3 4 Произведения в 1-ой и 4-ой строках и в первых двух столбцах равны по 840. б) Не могло. Доказать несложно.автор kitonum - Высшая математика