 Форум мехмата МГУ по высшей математике
| Пользователям: | Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. |
Все посты пользователя
Консультации по решению прикладных задач высшей математики, обсуждение интересных и нестандартных математических задач и головоломок.
Анонс - 3 дня назад
Знаю как решать с помощью компьютера, но возиться с этим вручную как-то не хочется. Существует много решений, особенно для случая числа 2025. Подожду 2-3 дня, может быть кто-то предложит новые решения, для 2025 выше уже приводилось одно решение 45*9*(8-7+2+2)=2025 .автор kitonum - Высшая математика
Краткое решение - 17 дней назад
Покажем, что существуют 33 числа, удовлетворяющие поставленным условиям. Обозначим их $x_i$ , где $i=1..33$. Пусть $x_i$ - нечётное, если $i\ne17$ , $x_{17}$ - чётное. Легко проверить, что все поставленные условия выполняются. Остаётся проверить, что не существует решения с большим числом чисел чем 33. Доказываем от противного, т.е. предположим, что такой набор чисел $x_1,\,x_2,\,... ,x_n$автор kitonum - Высшая математика
Ответ - 21 день назад
Если я ничего не напутал, то ответ будет $k=11$ , $n=10101010100$ . Ксения, где Вы откапываете такие интересные задачки? Эту сами придумали? PS. Кстати, следующим решением будет $k=102$ , $n=10011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001100110010$автор kitonum - Высшая математика
Решение - 26 дней назад
Конечно, на компьютере это решается за доли секунды. Если решать вручную, то можно воспользоваться свойствами дробей Фарея https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A4%D0%B0%D1%80%D0%B5%D1%8F . Дробью с наименьшим знаменателем, лежащей между $\frac{15}{28}$ и $\frac{22}{41}$ будет дробь $\frac{15+22}{28+41}=\frac{37}{69}$ . Ответ: 69 студентов, из них 37 девушек.автор kitonum - Высшая математика
Краткое решение - 29 дней назад
Число десятичных цифр натурального числа $k$ можно вычислить по формуле $[log_{10}(k)]+1$, где квадратные скобки означают целую часть числа. Оценивая сумму цифр числа $N=n^2+n-1$ по максимуму (если все цифры равны 9) , заметим, что неравенство $9\cdot(log_{10}(n^2+n-1)+1)<n$ верно для всех натуральных $n\ge38$. Поэтому достаточно сделать небольшой перебор для натуральных от 1 до 3автор kitonum - Высшая математика
... - 4 недели назад
Цитатаsergeyklykov Т.е., проблема не доказана? Конечно не доказана!автор kitonum - Высшая математика
Решение - 4 недели назад
Задача несложная. Используя хорошо известную формулу для числа делителей натурального числа и чётность искомого числа, получаем, что такое число должно иметь вид $2\cdotp^{18}$, где $p$ - некоторое простое число . Делая небольшой перебор среди простых $p$ получаем указанное Настей число $38535398281407278950346574602134474041938=2\cdot173^{18}$ Следующим числом, обладающим теми же свойствавтор kitonum - Высшая математика
Промежуточные результаты - 4 недели назад
Удалось немного продвинуться в решении проблемы, но окончательное решение пока не просматривается. Итак, предполагая, что подобное число является квадратом, получим некоторые его свойства, т.е. максимально сузим класс таких чисел. Очевидно, что в записи числа обязательно присутствуют по одной "2" и "7" и некоторое количество "1", причём само число обязательно оканавтор kitonum - Высшая математика
... - 4 недели назад
Цитатаsergeyklykov Интересно, в чём подвох? Вероятно, проблема в том куда сдвигаться с учётом перевода на летнее время - вперёд или назад?автор kitonum - Высшая математика
Re - 4 недели назад
Цитатаsergeyklykov И кто прав в решении? Кто даст ответ на этот вопрос? Сергей, никакого решения и нет! Ксения высказала предположение о бесконечности простых чисел вида $n(2^{n}+1)$ (к натуральному числу $n$ справа приписываем число $2^{n}+1$) . А я перебором на компьютере в некотором диапазоне просто проверил насколько часто встречаются простые такого вида.автор kitonum - Высшая математика
Можно - 5 недель назад
Такие числа существуют и их довольно много (30 штук). Ниже - код в Maple, решающий проблему, и полученный результат: restart; S:=combinat:-permute([$ 1..9]): L:=combinat:-choose([$ 1..9], 2): k:=0: L1:=select(t->abs(t[1]-t[2])=1, L): for s in S do if andmap(t->abs(ListTools:-Search(t[1],s)-ListTools:-Search(t[2],s)) in {2,3}, L1) then k:=k+1; T:=add(s[ i ]*10^(9-i), i=1..9) fi; od:автор kitonum - Высшая математика
Проверка - 5 недель назад
Проверил эту гипотезу для всех натуральных от 1 до 50000 . Найдено всего 20 подобных чисел {1, 7, 12, 119, 140, 145, 149, 155, 245, 295, 341, 553, 972, 1249, 1343, 5645, 6211, 7093, 10052, 11472} Видим, что при увеличении такие числа встречаются всё реже - в диапазоне от 11473 до 50000 не найдено ни одного.автор kitonum - Высшая математика
Re - 6 недель назад
Ксения, спасибо, что отреагировали на ответ, а то иногда, задав вопрос и получив ответ, Вы надолго (а то и навсегда) пропадаете. Вероятно, коротко (без доказательств) ответить можно так: " Для всех натуральных n (и только для них), для которых предпоследней цифрой чисел 2^n, 4^n и 8^n в десятичной записи будут соответственно 2, 4 и 8" . Некоторые пояснения. У степеней 3 иавтор kitonum - Высшая математика
Кое-что - 6 недель назад
Таких значений натуральных n будет бесконечно много. Ниже найденные на компьютере первые 15 значений таких n ( n стоят в показателях степеней): 2^7 = 128, 4^9 = 262144, 2^10 = 1024, 8^13 = 549755813888, 8^18 = 18014398509481984,4^19 = 274877906944, 2^27 = 134217728, 4^29 = 288230376151711744, 2^30 = 1073741824, 8^33 = 633825300114114700748351602688, 8^38 = 20769187434139310514121985316880автор kitonum - Высшая математика
Доказательство - 6 недель назад
Все эти равенства легко проверяются применением формулы для суммы членов геометрической прогрессии. Конечно, ручная проверка достаточно громоздка. Ниже проверка в Maple (код текстом и результат картинкой): restart; t:=sum(666*10^(3*(i-1)), i=1..n): S:=t*(t+1)*(t+2); # Левая часть тождества для произвольного n T:=sum(296*10^(3*(i-1)) + 740*10^(3*(i-1))*10^(3*n) + 296*10^(3*(i-1))*10^(6*n), iавтор kitonum - Высшая математика
7 ходов - 7 недель назад
См. картинку (двигаться слева направо по строкам, Р - решка, О - орёл) по ссылке https://fastpic.org/view/126/2026/0123/47b3e374cedbc65bbc73465defb3ab62.png.htmlавтор kitonum - Высшая математика
Решение - 7 недель назад
Цитатаammo77 Сделайте т.с. но без простых 2-3-5-11,найдите такое простое?... Это нетрудно. Ниже код в Maple (если кому-то интересно) и результат. restart; L:=select(isprime, {7, $12 .. 60}): L:=combinat:-choose(L, 9): k:=0: for t in L do d:=add(t[ i ]^7, i=1..9); if isprime(d) then k:=k+1; P:= fi; od: M:=convert(P, list): m:=sort(M, key=(X->X[1]))[1]: InertForm:-Display(%[1]=add(автор kitonum - Высшая математика
Да - 7 недель назад
Проверил, так оно и есть. 22042051711 = 3^7 + 5^7 + 7^7 + 11^7 + 13^7 + 17^7 + 19^7 + 23^7 + 29^7автор kitonum - Высшая математика
Решение - 2 месяца назад
Ниже решение в пакете Maple (код и результат). Возможно, код будет полезен кому-то, кто учится программировать в Maple. restart; S:={$0..9} minus {1,2,6}: for a in S do for b in S minus {a,0} do for c in S minus {a,b} do for d in S minus {a,b,c,0} do for e in S minus {a,b,c,d} do for f in S minus {a,b,c,d,e} do if 120+a+b*100+c*10+6=100*d+10*e+f then print(InertForm:-Display((120+a)%+(bавтор kitonum - Высшая математика
Вероятно не существует - 2 месяца назад
Цитата Существует ли натуральное число, факториал которого содержит ровно девять четвёрок в десятичной записи? Кажется, что таких натуральных чисел не существует, доказательства не знаю. На компьютере проверил вплоть до числа 10000! .автор kitonum - Высшая математика
... - 2 месяца назад
Спасибо за добрые слова! Как это Вы узнали мои имя - отчество?автор kitonum - Высшая математика
Полное решение с Maple - 2 месяца назад
Разложение числа $720$ на простые сомножители будет $720=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5$. Поэтому, при любом разбиении $120$ на натуральные слагаемые при условии, что их произведение равно $720$, число слагаемых не равных $1$ не превосходит $7$. Для полного решения проблемы мы просто генерируем все возможные разложения числа $720$ на натуральные множители больше $1$ и меньшие $120$. Дляавтор kitonum - Высшая математика
ОК - 2 месяца назад
С примером понятно. А где доказательство, что $n=24$ является наименьшим?автор kitonum - Высшая математика
Решение - 2 месяца назад
Не надо ничего заваливать или наклонять. Всё намного проще. Точка $M(x,y,z)$ принадлежит искомой конической поверхности тогда и только тогда когда координаты единичного вектора $\frac{OM}{|OM|}$ , где $O$ - начало координат, удовлетворяют уравнению плоскости $x+y+z=1$. Отсюда и получаем уравнение конической поверхности $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{z}{\автор kitonum - Высшая математика
Подсказки - 2 месяца назад
Прежде чем что-то раскладывать в ряды Маклорена, необходимо сделать некоторые упрощающие преобразования. Выражение, стоящее в основании степени, стремится к $1$ (легко проверяется почленным делением на $x$ и первый замечательный предел). Показатель степени стремится к $\infty$, т.е. имеете неопределённость $1^\infty$. Выделяя 1 как слагаемое в основании степени, приводите Ваше выражение к видуавтор kitonum - Высшая математика
Re - 2 месяца назад
Цитатаgs-m Цитатаkitonum $179\cdot4=716$ Цифра "6" это повёрнутая на $180^o$ цифра "9" . решали вручную или на машине? Решал на машине, но в коде, конечно же, использована идея о замене "9" на "6". Если карточки не поворачивать, то есть использовать в точности те же цифры, то решений нет. Это число $179$ можно довольно легко найти и вручную, еслиавтор kitonum - Высшая математика
Повёрнутая, а не перевёрнутая - 2 месяца назад
Сергей, я уточнил свой ответ, заменив "перевёрнутая" на "повёрнутая". Цифры на каждой карточке, конечно, написаны только на одной стороне, иначе это была бы слишком лёгкая задача.автор kitonum - Высшая математика
179 - 2 месяца назад
$179\cdot4=716$ Цифра "6" это повёрнутая на $180^o$ цифра "9" .автор kitonum - Высшая математика