 Форум мехмата МГУ по высшей математике
| Пользователям: | Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. |
Все посты пользователя
Новости проекта «Математический форум», анонсы и обсуждение новых возможностей, общение с разработчиками, предложения по развитию сайта.
подсказка - 18 лет назад
Составить систему уравнений для первого столбца матрицы X, т. е. для переменных x11 и x21. Решить эту систему. Потом составить и решить систему для x12 и x22. Когда появится опыт решения таких задач, можно решать одновременно две системы, соответствующие разным столбцам матрицы X (сразу записывать две правые части).автор egor - Высшая математика
Объём параллелепипеда есть определитель - 18 лет назад
Чтобы не путать дифференциал вектора с дифференциалом объёма, иногда ещё пишут вот так: d\mu(y)=|\det(f'(x))|d\mu(x), где \mu - мера в N-мерном пространстве. Доказательство есть в учебниках по матанализу (например, Фихтенгольц или Зорич). Идею доказательства понимаю так. Если мы находимся вблизи точки x0, то отображение f, с точностью до сдвигов, действует приблизительно как линейный операавтор egor - Высшая математика
Если общий случай, то на что можно надеяться? - 18 лет назад
Если числа в массиве могут быть какими угодно, т. е. никакие закономерности заранее не даны, то ясно, что нужно посмотреть на каждый элемент массива. Приходим к тривиальному алгоритму, который требует порядка n сравнений. Непонятно, на что другое можно надеяться и чем не нравится тривиальный алгоритм. Зачем нужен более быстрый алгоритм, если для получения исходных данных всё равно требуется поравтор egor - Высшая математика
как задана последовательность? - 18 лет назад
Многое зависит от того, каким способом задана последовательность: а) с помощью простой формулы; б) с помощью очень сложного алгоритма; в) просто дан произвольный массив чисел. Известно ли заранее, что в последовательности мало промежутков монотонности (например, до какого-то места убывает, а затем возрастает)?автор egor - Высшая математика
пример несуществования - 18 лет назад
Виноват. Плохо прочитал условие и стал искать пример нарушения единственности. Попытаемся найти пример несуществования в пространстве l_1. h=0, S={x из l_1: x_k>=0 для всех k и sum_k (k-1)/k x_k=1}. Множество S задано как пересечение полупространств и гиперплоскости, поэтому замкнуто и выпукло. Множеству S принадлежат векторы вида k/(k-1)e_k, k>=2, поэтому d(0,S)=1, где d(0,S) - инфимавтор egor - Высшая математика
подсказка (найти отрезок на единичной сфере) - 18 лет назад
Другими словами, нужно найти невырожденный отрезок на единичной сфере. Этот отрезок будет играть роль S, а в качестве h взять 0. Можно показать, что любой контрпример можно свести к такому "нормальному виду". Невырожденный отрезок легко увидеть на единичных сферах пространств l_1 и l_\infty. Полезно представлять, как выглядят эти сферы в двумерном случае (т. е. в пространстве R^2 с ноавтор egor - Высшая математика
не пройдёт - 18 лет назад
Цитата invite писал(а) : если граф взвешенный, но можно поменять знаки весов всех ребер и применить алгоритм Флойда - получим как раз самый длинный путь.. Другими словами, в алгоритме Флойда заменить min на max. Не пройдёт: этот алгоритм будет давать пути с повторениями (а хочется, конечно, без повторений). Задача о кратчайшем пути хорошо решается благодаря тому, что любой кусок кратчайшегоавтор egor - Высшая математика
задача о длиннейшем пути - 18 лет назад
Если бы можно было перебирать все пути между двумя вершинами существенно лучше, чем с помощью рекурсивного перебора (поиска в глубину), то можно было бы надеяться быстро находить длиннейший путь между двумя вершинами. Но последняя задача, насколько помню, является NP-трудной.автор egor - Высшая математика
рассмотреть дроби с фикс. "высотой" - 18 лет назад
Вот одно из стандартных доказательств. Назовём число |p|+q "высотой" несократимой дроби p/q. Дроби с фиксированной высотой образуют конечное множество. Счётное объединение конечных множеств счётно.автор egor - Высшая математика
может, плохое условие - 18 лет назад
У меня тоже получилось плохое кубическое уравнение. Либо мы плохо считаем, либо "плохое" условие. Любопытно, откуда оно взято.автор egor - Высшая математика
множители Лагранжа - 18 лет назад
Использовать метод множителей Лагранжа. Обычно это изучают в конце первого курса. Можно почитать в большинстве учебников по матем. анализу. (Если бы в условии было 16x^2+y^2=25 или 16x^2-y^2=25, то можно было бы попробовать тригонометрическую или гиперболическую замену.)автор egor - Высшая математика
символика Ландау, H* = H - 18 лет назад
Цитата Екатерина писала: Если в знаменателе мы h->0, то почему мы не делаем этого с числителем? Для разности ||x+h||-||x|| нужно найти не предел (понятно, что он равен 0), а такое выражение g(x,h), что ||x+h||-||x||=g(x,h)+o(||h||) при ||h|| -> 0, т. е. (||x+h||-||x||-g(x,h))/||h|| -> 0 при ||h|| -> 0. (*) После того выражения, к которому Вы пришли, можно рассуждать двумя савтор egor - Высшая математика
дальше - 18 лет назад
Кажется, в последнем знаменателе должен быть плюс. При h->0 знаменатель эквивалентен 2||x||, а в числителе ||h||^2=o(||h||). Поэтому линейная часть (т. е. производная Фреше) равна (x,h)/||x||. Можно доказать это в лоб: из Вашего выражения вычесть (x,h)/||x|| и доказать, что это o(||h||). Случай x=0 нужно рассмотреть отдельно. В случае комплексного пространства сумма (x,h)+(h,x) будет равна неавтор egor - Высшая математика
действительно, так проще - 18 лет назад
Я подразумевал, что при a>0 можно выделить полный квадрат и сравнить ординату вершины с -1. Конечно, через уравнения намного проще.автор egor - Высшая математика
наводящие вопросы - 18 лет назад
Чтобы решать такие упражнения, удобно заранее разобраться со следующими вопросами: Какое множество значений имеет функция y=c? Какое множество значений имеет функция y=bx+c, где b<>0? Какое множество значений имеет функция y=a(x-x_0)^2+y_0, если a>0? если a<0? Любую функцию вида y=ax^2+bx+c можно свести к этим случаям. В данном примере при любых значениях параметра получается y(0)=1.автор egor - Высшая математика
попробуем так - 18 лет назад
Мне показалось, что подходят множества X_n = P \cap H \cap Z_n = B \cap H \cap Z_n, где Z_n = {x из l_1: x_1 = ... = x_n = 0}, B = {x из l_1: ||x|| <= 1}, P = {x из l_1: x_k >= 0 для всех k}, H = {x из l_1: \sum_{k=1}^\infty x_k = 1}.автор egor - Высшая математика
\ell_1 - 18 лет назад
"Красивую" строчную букву L можно писать так: $\ell$. В пространстве $\ell_1$ пример почти такой же простой, как и в $c_0$.автор egor - Высшая математика
конструкторский набор - 18 лет назад
В пространстве l_1 есть такие подмножества (первые, которые приходят в голову): Z_n = {x из l_1: x_1 = ... = x_n = 0}, P_n = {x из l_1: x_1 >= 0, ..., x_n >= 0}, P = {x из l_1: x_k >= 0 для всех k}, B = {x из l_1: ||x|| <= 1}, S = {x из l_1: ||x|| = 1}, H = {x из l_1: \sum_{k=1}^\infty x_k = 1}, K = {x из l_1: \sum_{k=1}^\infty x_k <= 1}. Можно рассмотреть пересечения некотоавтор egor - Высшая математика
план решения - 18 лет назад
Первым делом, выразить cos(2x) через t=cos(x). Получится задача следующего вида. Найти все значения параметра a, при которых неравенство t^2 + p(a) t + q(a) > 0 выполняется для всех t из сегмента [-1;1]. Обозначим через M(a) минимальное значение функции t^2 + p(a) t + q(a) на сегменте [-1;1]. Задачу можно переформулировать так: найти такие a, для которых M(a)>0. Чтобы решить задачу, можно навтор egor - Высшая математика
не могу найти проблему :-( - 18 лет назад
С алгоритмическим нахождением компонент и расстояний ситуация печальная и в счётном случае, но какие проблемы с определениями? Расстояние - длина кратчайшего пути. По определению, пути конечны. Полагаем x ~ y, если x и y можно соединить путём. Это эквивалентность. Классы эквивалентности называем компонентами связности. Компонента, содержащая x, равна объединению множеств N_k. По условию, не сущесавтор egor - Высшая математика
годится и для несчётного - 18 лет назад
Насколько понимаю, доказательство годится и для несчётного случая (чтобы сразу выбрать все x_i, используем аксиому выбора).автор egor - Высшая математика
нет - 18 лет назад
Контрпример: множество натуральных чисел, в котором n соединено с n+1.автор egor - Высшая математика
Цепочки и связность в метрическом пространстве - 18 лет назад
Вот несколько терминов и очень простое упражнение на связность в метрическом пространстве (см. также упражнение Ф к главе 5 из учебника Келли). Не знаю, пригодится ли это в решении исходной задачки. Всюду будем считать, что X - метрическое пространство, d - метрика в X. Если A и B - подмножества X, то полагаем dist(A,B)=inf {d(x,y): x из A, y из B}. Пусть e>0, x и y - точка пространстваавтор egor - Высшая математика
а вот так? - 18 лет назад
Цитата AlexDemche писал(а) : Доказательство понятно. Мне непонятна именно техника этого...почему принципиально нельзя 1-й элемент поставить на место предела x, второй на место ближайшего и так далее, и тем самым получить расходящуюся последовательность... По поводу "на место предела" и "на место ближайшего" см. ответ X-ray. Принципиально подобные попытки обречены из-за тогоавтор egor - Высшая математика
подсказка - 18 лет назад
Цитата AlexDemche писал(а) : Известно, что если последовательность в метрическом пространстве сходится к числу x, то и любая ее перестановка сходится к этому же числу. Знаю доказательство этого утверждения, но все же интуитивно не вполне понятно, почему 1й элемент нельзя поменять местами с пределом x, второй с близким к x и так далее и получить тем самым последовательность, которая наоборот все бавтор egor - Высшая математика
подсказка: среднее арифметическое - 18 лет назад
Цитата Makros писал(а) : S - последовательность такая, что S-2*S+S >= 0 Доказать, что последовательность {S/n} имеет кончный или бескончный предел. Может и фигня, но что-то вообще не понятно с чего начать... Можно начать с решения задач 138 и 139 из сборника Демидовича (о пределе среднего арифметического). В Вашей задаче рассмотреть вспомогательную последовательность D=S-S, D[1]=S[1].автор egor - Высшая математика
Формулы - 18 лет назад
Обозначим через n(z,w) производную |z| в направлении w: n(z,w)=lim_{s\to+0}(|z+sw|-|z|)/s. С помощью свойств комплексно-сопряжённых чисел легко показать, что n(z,w)=Re(wz')/|z| при z<>0, где z' - число, сопряжённое к z, n(z,w)=|w| при z=0. Пусть x и h - функции из C. Введём обозначения: M_x={t из : |x(t)| = ||x||}, N(x,h)=sup{n(x(t),h(t)): t из M_x}. Множество M_x компактно, поэтомавтор egor - Высшая математика
Советы - 18 лет назад
Цитата Лилия Файзрахманова писала: Помогите, пожалуйста, найти производные Фреше, Гато нормы пространства C (т.е. функционала max {|x(t)|: a<=t<=b} ) в тех точках, где они существуют. Если функции комплексные, то советую начать с нахождения производной Гато функции |z| (модуль комплексного числа). Обозначим её через n(z,w): n(z,w)=lim_{k->+0} (|z+kw|-|z|)/k. Чтобы найти n(z,w), можавтор egor - Высшая математика
Числа от 1 до n не обязаны идти по порядку - 18 лет назад
Цитата Борис Тарасов писал: По Sascha должны быть числа 1, 2, ... , n ! Я привёл два верных контрпримера, где это не соблюдается !!! Ваши контрпримеры как раз и показывают, как правильно понимать условие. Доказать существование полукруга, в котором присутствуют все числа от 1 до n. Конечно, в этом полукруге числа от 1 до n не обязаны идти по порядку. Для такого условия задача решается довольноавтор egor - Высшая математика