 Форум мехмата МГУ по высшей математике
| Пользователям: | Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. |
Все посты пользователя
Интересные математические задачки, головоломки, числовые ребусы, которые позволят немного размять мозги. Отвлекитесь от серьезной математики.
Выпуклый шестиугольник, каждая из сторон имеет длину больше 1 - Вчера
Условие Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше $1$. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше двух? Подсказка Рассмотрите шестиугольник, построенный на основе правильного треугольника со стороной $2$ Решение Ответ: Нет, не всегда Возьмем правильный треугольник со стороной $2$ (на рисунке он показан синим цветом). Из середин его сторон восставим вавтор koh - Задачки и головоломки
Нумерация вершин куба трехзначными числами - 4 дня назад
Условие Можно ли занумеровать вершины куба различными трехзначными числами, составленными из цифр 1 и 2, таким образом, чтобы номера любых двух соседних вершин различались не менее, чем в двух разрядах? Подсказка Да, можно Решение Ответ: Да, можно. Например, см. рисунок Рассмотрим систему координат, в которой вершины куба имеют координаты (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0, 0, 1),автор koh - Задачки и головоломки
Терция - 8 дней назад
Условие Решите математический ребус. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные. СИ$ \times $СИ = СОЛЬ Подсказка С = 9 Решение $98 \times 98 = 9604 $автор koh - Задачки и головоломки
При каких натуральных n выражение 1^n + 2^n + 3^n + 4^n делится на 10? - 10 дней назад
Условие При каких натуральных $n$ выражение $1^n + 2^n + 3^n + 4^n$ делится на $10$? Подсказка Достаточно рассмотреть последние цифры чисел $2^n, 3^n, 4^n$ Решение Ответ: $1^n + 2^n + 3^n + 4^n$ делится на $10$, когда $n$ не делится на $4$ Достаточно рассмотреть последние цифры чисел $2^n, 3^n, 4^n$. При $n = 1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ последние цифры степеней равны: $2, 4, 8, 6, 2автор koh - Задачки и головоломки
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину? - 15 дней назад
Условие Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину? Подсказка Очевидно, что число сторон больше трех Решение Ответ: число сторон может быть равным $4$ или $5$ Докажем, что многоугольник с указанным свойством не может иметь более пяти сторон. Обозначим через $n$ число сторон многоугольника и допустим, что $n \geq 6$. Пусть $A_1,автор koh - Задачки и головоломки
Сумма квадратов N последовательных натуральных чисел – квадрат целого числа (N = 3, 5, 7, 9, 11)? - 17 дней назад
Условие Может ли сумма квадратов $N$ последовательных натуральных чисел быть квадратом целого числа $ (N = 3, 5, 7, 9, 11) $? Подсказка Обозначим $S_3 = (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 3x^2 + 2$ Решение Ответ: для $N = 3, 5, 7, 9$ не может; для $N = 11$, например, $18^2 + 19^2 +20^2 + \ldots + 28^2 = 77^2$ Обозначим $S_3 = (x – 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 3x^2 + 2$ $S_5 = (x – 2)^2 +автор koh - Задачки и головоломки
Натуральные числа, не представимые в виде суммы трех кубов - 22 дня назад
Условие Верно ли, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $x^3 + y^3 + z^3$, где $x, y, z$ – целые числа? Подсказка Рассмотрите делимость числа $x^3 + y^3 + z^3$ на $9$ Решение Ответ: Да, верно. Легко проверить, что, если $x$ – целое число, то при делении $x^3$ на $9$ в остатке может получиться только $0, 1$ и $–1$. Пусть $x = 3k \pm 1автор koh - Задачки и головоломки
n синих и n красных точек - 24 дня назад
Условие На плоскости заданы $2n$ точек – $n$ синих и $n$ красных, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Верно ли, что можно провести $n$ отрезков так, что у каждого отрезка один конец лежит в красной точке, другой – в синей точке, и никакие два отрезка не имеют общих точек Подсказка Да, верно Решение Ответ: Да, верно Рассмотрим всевозможные наборы из $n$ отрезкоавтор koh - Задачки и головоломки
Задана сумма длин противоположных сторон и диагонали четырехугольника - 29 дней назад
Условие Площадь выпуклого четырехугольника равна $32$ см$2$, а сумма длин двух противоположных сторон и одной диагонали равна $16$ см. Указать все значения, которые может принимать длина другой диагонали Подсказка Обозначим $ABCD$ – выпуклый четырехугольник, $|AB| = a, |BD| = b, |CD| = c$. Тогда $S_{ABCD} = S_{\Delta ABD} + S_{\Delta BCD}$ Решение Ответ: Длина другой диагоналавтор koh - Задачки и головоломки
Наименьшее число вида |11^m – 5^n| - 4 недели назад
Условие Найти наименьшее число вида $|11^m – 5^n|$, где $m$ и $n$ – натуральные числа Подсказка Легко найти последнюю цифру числа $|11^m – 5^n|$ Решение Ответ: $|11^m – 5^n| = 4$ при $m =2, n = 3$ Если $11^m > 5^n$, то число $|11^m – 5^n|$ оканчивается на $6$; если $11^m < 5^n$, то число $|11^m – 5^n|$ оканчивается на $4$. При $m =2, n = 3 \; |11^m – 5^n| = 4$автор koh - Задачки и головоломки
Сумма натуральных чисел равна 2026 - 5 недель назад
Условие Найти наибольшее значение, которое может принять произведение нескольких натуральных чисел, сумма которых равна $2026$ Подсказка Пусть наибольшее значение достигается для чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n (a_1 + \ldots + a_n = 2026) $. $? \leq a_j \leq ? $ Решение Ответ: $2^2\cdot3^{673}$ Пусть наибольшее значение достигается для чисел $a_1, a_2, …, a_n (a_1 + … + a_n = 2026) $автор koh - Задачки и головоломки
Очень высокие степени - 5 недель назад
Условие Существует ли нечетное число $N$, такое, что ни при каком четном $K$ ни одно из чисел бесконечной последовательности $K^K + 1, K^{K^K} + 1, K^{K^{K^K}} + 1, \ldots $ не делится на $N$? Подсказка Рассмотрите, например, $N = 3$ Решение Ответ: Например, $N = 3$ Так как $K$ – четное число, то все числа $K^K, K^{K^K, K^{K^{K^K}}$ также четные и любой член последовательнавтор koh - Задачки и головоломки
Длины медиан в целое число раз меньше длин сторон, к которым эти медианы проведены - 5 недель назад
Условие Существуют ли треугольники, у которых длины двух медиан в целое число раз меньше длин сторон, к которым эти медианы проведены? Подсказка Рассмотрите окружность с центром в середине стороны и радиусом, равным половине этой стороны. Решение Ответ: нет, не существует. Пусть отношение стороны к медиане равно двум или больше двух. Тогда соответствующий угол является прямым (см.автор koh - Задачки и головоломки
Разрезать прямоугольник на 15 равных многоугольников - 6 недель назад
Условие Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 15 равных многоугольников, не являющихся прямоугольниками? Подсказка Рассмотрите прямоугольник с соотношением сторон 9 : 5 Решение Ответ: Да, существует (см. рисунок)автор koh - Задачки и головоломки
Паркет из четырехугольников - 6 недель назад
Условие Можно ли выпуклым четырехугольником произвольной формы настелить паркет, то есть заполнить всю плоскость без пропусков и перекрытий? Подсказка Используйте преобразование центральной симметрии Решение Ответ: Да, можно Отразим исходный синий четырехугольник 1 симметрично относительно середины стороны AB. Получим красный четырехугольник 2. Отразим четырехугольник 2 симметричавтор koh - Задачки и головоломки
13 прямых на шахматной доске - 7 недель назад
Условие На шахматной доске отмечены центры всех 64 полей. Можно ли провести на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на которые эти прямые делят доску, оказалось не более одной отмеченной точки? Подсказка Рассмотрите квадрат, проходящий через центры всех 28 граничных точек Решение Ответ: Нет, нельзя. На рисунке показано, как провести 14 прямых (на рисунке эти прямые - краавтор koh - Задачки и головоломки
Треугольник, составленный из высот данного треугольника, подобен ему - 7 недель назад
Условие Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из высот данного треугольника, был ему подобен? Подсказка $a\cdoth_a = b\cdoth_b = c\cdoth_c (= 2S) $ Решение Ответ: $b^2 = ac$ Обозначим длины сторон исходного треугольника $a, b, c$, длины высот $h_a, h_b, h_c$. Тогда $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c (= 2S) $, где $S$ &автор koh - Задачки и головоломки
50 часов на столе - 8 недель назад
Условие На столе лежат $50$ правильно идущих часов. Верно ли, что найдется момент времени, когда сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше, чем сумма расстояний от центра стола до центров часов? Подсказка Для $i$–ых часов рассмотрите треугольник с такими вершинами: центр стола $O$; $A_i$ – конец минутной стрелки в момент времени $t$; $B_i$ &ndaавтор koh - Задачки и головоломки
Двузначное или трехзначное число - 2 месяца назад
Условие К сумме цифр двузначного или трехзначного числа $N$ прибавили квадрат этой суммы и получили число $N$. Чему равно $N$? Подсказка Рассмотрим двузначное $N = 10a + b$. $ (a + b) + (a + b )^2 = 10a + b$ Решение Ответ: $12, 42, 90, 156$ Рассмотрим двузначное $N = 10a + b$. $ (a + b) + (a + b )^2 = 10a + b$ $ (a + b )^2 = 9a$ Откуда следует, что $a$ – полный квадрат,автор koh - Задачки и головоломки
Квадратное уравнение с натуральными корнями - 2 месяца назад
Квадратное уравнение с натуральными корнями Условие Корни уравнения $x^2 +px + q = 0$, у которого $p^2 – 2q = 5$, являются натуральными числами. Найдите эти числа Подсказка Примените формулу Виета Решение Ответ: $ (1; 2) $ $p^2 – 2q = 5 \; \rightarrow \; (x_1 + x_2)^2 -2x_1x_2 = 5 \; \rightarrow \; x_1^2 + x_2^2 = 5$ Корни $1$ и $2$ при $p=-3, q = 2$автор koh - Задачки и головоломки
6 монет, 2 фальшивые - 2 месяца назад
Условие Имеются 6 одинаковых по виду монет. Четыре из них настоящие, по 4 г каждая, а две фальшивые общим весом 8 г, одна чуть более тяжелая, другая чуть более легкая. Хватит ли четырех взвешиваний, чтобы с помощью чашечных весов без гирь найти обе фальшивые монеты? Подсказка При первом взвешивании надо положить на обе чашки весов по 3 монеты Решение Ответ: Да, хватит При первом вавтор koh - Задачки и головоломки
Четырехзначное число, составленное из цифр 0, 2, 4, 6, 8, – полный квадрат - 2 месяца назад
Условие Отберите четыре цифры из цифр $0, 2, 4, 6, 8$ и расположите их в ряд так, чтобы полученное четырехзначное число было квадратом некоторого целого числа Подсказка Рассмотрите последние цифры квадратов чисел Решение Ответ: $6084 = 78^2$ Обозначим $A^2 = B$ Последней цифрой числа $B$ может быть только $4$, так как, если последняя цифра числа $B$ равна $6$, то $A = 10a + 4$ илиавтор koh - Задачки и головоломки
Минимальная площадь четырехугольника - 2 месяца назад
Условие Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника $AOB$ равна $4$, а площадь треугольника $COD$ равна $9$? Подсказка Обозначим $|AO| = x, |OC| = y$. Тогда $\frac{4}{x} = \frac{S_{ABC}}{x + y}$ и $\frac{9}{y} = \frac{S_{ADC}}{(x + y}$. Решение Ответ: $25$ Обозначим $|AOавтор koh - Задачки и головоломки
20 точек на плоскости - 2 месяца назад
Условие На плоскости расположены $20$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Нужно соединить некоторые точки отрезками так, чтобы при этом не образовалось ни одного треугольника с вершинами в данных точках. Какое наибольшее число таких отрезков можно провести? Подсказка Рассмотрите точку, соединенную отрезками с наибольшим количеством других точек Решение Ответ: $10автор koh - Задачки и головоломки
Квадрат начинается с n единиц - 2 месяца назад
Условие Существует ли целое число, квадрат которого начинается с $n$ единиц Подсказка Рассмотрите число, составленное из троек Решение Ответ: Да, существует. Квадрат числа, составленного из $ (n + 1) $ троек начинается с $n$ единиц $33^2=1089$ $333^2=110889$ $3333^2=11108889$ $33333^2=1111088889$ $\ldots$автор koh - Задачки и головоломки
Основание перпендикуляра, опущенного из любой точки внутри выпуклого многоугольника на любую сторону, лежит внутри этой стороны - 2 месяца назад
Условие Найти все выпуклые многоугольники, обладающие следующим свойством: основание перпендикуляра, опущенного из любой точки внутри многоугольника на любую сторону, лежит внутри этой стороны Подсказка В многоугольнике не должно быть тупых углов Решение Ответ: остроугольные и прямоугольные треугольники, прямоугольники В многоугольнике не должно быть тупых угловавтор koh - Задачки и головоломки
Строго возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел, такая, что a_{mn} = a_m + a_n - 3 месяца назад
Условие Существует ли cтрого возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел, такая, что при любых $m$ и $n$ выполняется соотношение $a_{mn} = a_m + a_n$? Подсказка Рассмотрите $n$ – натуральное число, такое, что $n > a_2$ Решение Ответ: Нет, не существует. Предположим, что такая последовательность существует. Пусть $n$ – натуральное число, такое, что $автор koh - Задачки и головоломки
Раскраска плоскости в 9 цветов - 3 месяца назад
Условие Можно ли раскрасить плоскость 9 красками так, что никакие две точки одного цвета не будут находиться на расстоянии 1 м? Подсказка Разбейте плоскость квадратной сеткой со стороной квадратов 60 см. Решение Ответ: Да, можно Разбейте плоскость квадратной сеткой со стороной квадратов 60 см, затем в квадрате 180 см х 180 см квадратики раскрасьте в разные цвета, потом периодическиавтор koh - Задачки и головоломки
Майская тема - 3 месяца назад
Условие Решите математический ребус. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные. МАЙ МАЙ + МАЙ МАЙ МАЙ МАЙ ---- ТЕМА Подсказка Й - нечетное Решение 305 305 + 305 305 305 305 ---- 1830 Й - нечетное Й = 1 А = 6 М = 6 не годится Й = 3 А = 8 М = 9 Е = 8 не годится Й = 5 А = 0 М = 3автор koh - Задачки и головоломки
Антимагический квадрат - 3 месяца назад
Условие Магический квадрат третьего порядка состоит из девяти чисел, записанных в таблицу 3х3, суммы которых по строкам, столбцам и диагоналям одинаковы (см., например, задачки «Магический квадрат из простых чисел» и «Магический квадрат 2025»). Назовем квадрат антимагическим, если все эти суммы различны. Составить антимагический квадрат из цифр от 1 до 9. Подсказка Например, существует аавтор koh - Задачки и головоломки