 Форум мехмата МГУ по высшей математике
| Пользователям: | Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. |
Все посты пользователя
Интересные математические задачки, головоломки, числовые ребусы, которые позволят немного размять мозги. Отвлекитесь от серьезной математики.
Три семерки - 4 дня назад
Условие Существует ли трехзначное число, куб которого оканчивается на три семерки? Подсказка Обозначим искомое число $n$. Тогда $n = 100a + 10b + 3$ Решение Ответ: $753^3 = 426957777$ Обозначим искомое число $n$. Тогда $n = 100a + 10b + 3$ $n^3 = 10^2\cdotA + 10\cdot(7b + 2) + 7$ $b = 5$ $n = 100a + 53$ $n^3 = 10^3\cdotB + 10^2\cdot(7a + 8) + 77$ $a = 7$автор koh - Задачки и головоломки
Пятизначное число из трехзначного - 7 дней назад
Условие Найти трехзначное число $100a + 10b + c$, такое, что $(100a + 10b + c)^a = 10000b + 1000c + 100\cdot(a-1) + 10b + c$ Подсказка Очевидно, что $a = 2$ Решение Ответ: $276^2 = 76176$ Очевидно, что $a = 2$ $(200 + 10b + c)^2 = 1001\cdot(10b + c) + 100$ Обозначим $N = 10b + c$ Тогда $N^2 – 601N + 39900 = 0$ и $N = 76$автор koh - Задачки и головоломки
Не очень тяжелые гири - 11 дней назад
Условие Имеется некоторое количество гирь, массы которых не превосходят 10 кг. Известно, что, если все гири каким-либо способом разбить на две кучки, то обязательно масса одной из кучек не превосходит 10 кг. Найти наибольшую возможную общую массу всех гирь. Подсказка Возьмем одну из гирь и будем к ней добавлять по одной гире. Решение Ответ: Общая масса гирь может достигать 30 кгавтор koh - Задачки и головоломки
Перестановка цифр в квадратах - 13 дней назад
Условие Квадраты двух последовательных чисел отличаются лишь перестановкой последних двух цифр. Найдите эти числа Подсказка Рассмотрите числа $10a + b$ и $10a + b + 1$ Решение Ответ: $13$ и $14$ Очевидно, что искомые числа двузначные (разность их квадратов не превышает $90 – 9 = 81$) Обозначим искомые числа $10a + b$ и $10a + b + 1$. $(10a + b + 1)^2 – (10a + b)^2 = 20a + 2b + 1$автор koh - Задачки и головоломки
Вставьте пропущенное число - 18 дней назад
Условие Вставьте пропущенное число вместо знака «?» в последовательности: 10, 11, 12, 13 ,14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 31, 100, ?, 10000 Подсказка В задаче используется переменная система счисления Решение Ответ: 121 На месте знака «?» следует поставить представление числа 16 в троичной системе счисления, то есть 121. В последовательности записаны представления числа 16 сначалаавтор koh - Задачки и головоломки
Цифры по кругу - 21 день назад
Условие Можно ли выписать по кругу $N$ различных цифр так, чтобы из каждых двух соседних цифр можно было составить число, делящееся на 7? ($3 \leq N \leq 10$) Подсказка Выпишите все двухзначные числа, делящееся на 7 Решение Ответ: N = 3 расстановка 3-5-6; N = 4 расстановка 1-2-8-9; N = 5 расстановка 1-2-8-9-4; при $N \geq 6$ решений нет Выпишем все двухзначные числа, делящиеся на 7автор koh - Задачки и головоломки
Число в пятой степени – 2025 - 25 дней назад
Условие На доске был написан результат возведения натурального числа в пятую степень. Стерли $6$ цифр. На доске осталось $****2*0*25$. Какое число возводилось в пятую степень? Подсказка Всякое натуральное число в пятой степени оканчивается на ту же цифру, что и само число Решение Ответ: $65^5 = 1160290625$ Всякое натуральное число в пятой степени оканчивается на ту же цифру,автор koh - Задачки и головоломки
Суперпростые числа - 27 дней назад
Условие Назовем простое число $p$ суперпростым, если любое число, полученное из $p$ перестановкой цифр, также является простым. Найти наибольшее суперпростое число, состоящее из различных цифр Подсказка В десятичной записи суперпростого числа могут встретиться лишь цифры 1, 3, 7, 9. Решение Ответ: 97 В десятичной записи суперпростого числа могут встретиться лишь цифры 1, 3, 7,9.автор koh - Задачки и головоломки
Простое уравнение - 4 недели назад
Условие Найдите все натуральные числа $n$, при которых уравнение $\frac{1}{x} – \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ имеет единственное решение в натуральных числах Подсказка Подсказка дана в названии задачи Решение Ответ: $n$ – простое число Из уравнения $\frac{1}{x} – \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ следует, что $\frac{1}{x} > \frac{1}{n}$, то есть $x < n$. Поэтому, если $n = 1$, тавтор koh - Задачки и головоломки
Точки пересечения парабол - 4 недели назад
Условие Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырех точках. Пусть для определенности параболы заданы уравнениями $x = ay^2 + b (a > 0, b < 0)$ и $y = cx^2 + d (c > 0, d < 0).$ Верно ли, что эти четыре точки лежат на одной окружности? Подсказка $\frac{x}{a} = y^2 + \frac{b}{a}$ $\frac{y}{c} = x^2 + \frac{d}{cавтор koh - Задачки и головоломки
Почти центр симметрии - 5 недель назад
Условие М – множество точек на плоскости. Точка О плоскости называется «почти центром симметрии» множества М, если из М можно выбросить одну точку таким образом, что для оставшегося множества точка О является центром симметрии в обычном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество точек на плоскости? Подсказка Множество M имеет конечное число «почти ценавтор koh - Задачки и головоломки
Магический квадрат из простых чисел - 5 недель назад
Условие Составить магический квадрат третьего порядка из простых чисел, такой, что, если каждое число увеличить на 2, то все числа останутся простыми. Магический квадрат третьего порядка состоит из девяти чисел, записанных в таблицу $3\times3$, суммы которых по строкам, столбцам и диагоналям одинаковы Подсказка Квадрат состоит из меньших чисел пар близнецов простых чисел (3;5), (5;7), (1автор koh - Задачки и головоломки
Последовательные натуральные числа, каждое из которых делится хотя бы на одно из первых шести простых чисел - 6 недель назад
Условие Найти хотя бы одно натуральное число $n$ такое, что каждое из чисел $n, n + 1, n + 2, …, n + 20$ делится хотя бы на одно из первых шести простых чисел ($2, 3, 5, 7, 11, 13$) Подсказка Будем искать число $n$ в виде $n = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdotk – 10$, где $k$ – натуральное число Решение Ответ: $n = 9440$ Обозначим $m = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdotk$ и будем искать числоавтор koh - Задачки и головоломки
Медные советские монеты - 6 недель назад
Условие Имеется четыре рубля советскими медными монетами. Верно ли, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи? В Советском Союзе использовались монеты четырех видов: однокопеечные, двухкопеечные, трехкопеечные и пятикопеечные. Подсказка Достаточно доказать, что можно заплатить рубль без сдачи. Заметим, что монет какого-то вида не меньше рубля Решение Ответ: Да, вернавтор koh - Задачки и головоломки
Найти все простые числа p, для которых число 2^p + p^2 тоже простое - 7 недель назад
Условие Найти все простые числа $p$, для которых число $2^p + p^2$ тоже простое Подсказка При простом $p > 3$ число $2^p + p^2$ делится на $3$ Решение Ответ: $p = 3$ При $p = 2$ число $2^p + p^2 = 8$ При $p = 3$ число $2^p + p^2 = 17$ Покажем, что при простом $p > 3$ число $2^p + p^2$ делится на $3$ Заметим, что $p$ – нечетное, поэтому $2^p = (3 – 1)^p = 3M - 1$ Посавтор koh - Задачки и головоломки
Пузатость - 7 недель назад
Условие Назовем пузатостью прямоугольника отношение длины его меньшей стороны к длине большей. Верно ли следующее утверждение: как бы не разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше единицы? Подсказка Пусть длина стороны квадрата равна $1$ Решение Ответ: Да, верно Пусть длина стороны квадрата равна $1$ Обозначим размеры прямоугольников разбиения $a_k,автор koh - Задачки и головоломки
Треугольник из треугольников - 8 недель назад
Условие Правильный треугольник со стороной $3$ разбит на $9$ маленьких треугольников со стороной $1$ (см. рисунок 1). Требуется расставить в них числа от $1$ до $9$ так, чтобы суммы четырех чисел в трех треугольниках со стороной $2$ были одинаковыми. Какие значения может принимать эта сумма? Подсказка Обозначим искомую сумму $S$. Тогда $3S – (b + d + g) = 45$ (см. рисунок 2).автор koh - Задачки и головоломки
Фокус - 2 месяца назад
Условие Фокусник предлагает записать любое трехзначное число. Затем он подходит и, взглянув на написанное число, сразу приписывает справа три цифры так, что образовавшееся шестизначное число делится на $37$. Как он это делает? Подсказка Фокусник использует признак делимости на $111$ Решение Ответ: Фокусник использует признак делимости на $111$. $37\cdot3 = 111$ К числу, имеющемуавтор koh - Задачки и головоломки
Пятизначное число, составленное из квадрата и куба - 2 месяца назад
Условие Найти наибольшее пятизначное число, первые три цифры которого образуют число, представляющее точный квадрат, а последние три цифры – точный куб Подсказка Пригодные кубы (у которых первая цифра равна $1, 4, 5, 6$ или $9$) это только $5^3 = 125$ и $8^3 = 512$ Решение Ответ: $96125$автор koh - Задачки и головоломки
6 натуральных чисел - 2 месяца назад
Условие Верно ли такое утверждение: из любых шести натуральных чисел, больших 1, можно выбрать три числа, каждые два из которых не имеют общих делителей, больших 1, или три числа, имеющие общий делитель? Подсказка Это утверждение неверно Решение Ответ: Это утверждение неверно. Пример 14, 15, 26, 33, 55, 91 Покажем, как строить подобные примеры. Изобразим наши числа шестью точками;автор koh - Задачки и головоломки
Для натуральных чисел A и B найти натуральное N, такое, что сумма цифр чисел N·A и N·B одинакова - 2 месяца назад
Условие $A$ и $B$ – натуральные числа. Найти натуральное $N$, такое, что у чисел $N\cdotA$ и $N\cdotB$ одинаковая сумма цифр Подсказка Рассмотрите $N = 10^M – 1$ Решение Ответ: Например, $N = 10^M – 1$, где $M$ больше числа цифр в числах $A$ и $B$. Возьмем натуральное $M$, большее числа цифр в каждом из чисел $A$ и $B$. Положим $N = 10^M – 1$. Тогда $N\cdotA = 10^M\cdotAавтор koh - Задачки и головоломки
Точки внутри окружности - 2 месяца назад
Условие Пусть $A$ – конечное множество точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой. Верно ли, что найдутся три точки множества $A$, такие, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других точек множества $A$? Подсказка Для начала рассмотрим две ближайшие точки из данного множества Решение Ответ: Да, верно Пусть $P$ и $Q$ две ближайшие точки из множеставтор koh - Задачки и головоломки
Последовательность, которая растет не слишком быстро - 2 месяца назад
Условие Существует ли возрастающая последовательность различных натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, ...$ ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, и такая, что при всех $n = 1, 2, 3, ...$ $a_n \leq 2\cdot(\sqrt{3})^n$? Подсказка Самый очевидный пример последовательности различных натуральных чисел, ни один из членов которой не равен сумме нескольких других – это геомеавтор koh - Задачки и головоломки
Трехзначное число, равное произведению числа, записываемого его двумя последними цифрами, на число, выражаемое его последней цифрой - 2 месяца назад
Условие Найти все такие трехзначные числа, которые равны произведению числа, записываемого его двумя последними цифрами, на число, выражаемое его последней цифрой Подсказка $100a + 10b + c = (10b + c) \cdot c$ Решение Ответ: $125, 375$ $100a + 10b + c = (10b + c) \cdot c$ $c^2$ имеет в качестве последней цифры $c$ $c$ может принимать лишь значения $0, 1, 5$ и $6$. Очевидно, чтоавтор koh - Задачки и головоломки
Уравнение третьей степени - 2 месяца назад
Условие Решите уравнение $x^3 + x^2 + x = -\frac{1}{3}$ Подсказка Попробуйте получить в левой части уравнения сумму кубов Решение Ответ: $x = -\frac{1}{1 + 2^{1/3}$ Перепишем уравнение в виде: $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$ В левой части получилась сумма кубов: $(x + 1)^3 +2x^3 = 0$ Перепишем $(x + 1)^3 = -2x^3$ Извлечем кубический корень из обеих частей $x + 1 = -x\cdot 2^{автор koh - Задачки и головоломки
Много букв - 3 месяца назад
Условие Решите математический ребус. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные. БУКВА БУКВА + БУКВА БУКВА БУКВА БУКВА ----- СЛОВО Подсказка Б = 1 О = 0, 2, 4, 8 С = 6, 7, 8, 9 А = 3, 5, 7, 9 Решение 10579 10579 + 10579 10579 10579 10579 ----- 63474автор koh - Задачки и головоломки
Арифметическая прогрессия из членов последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... - 3 месяца назад
Условие Из последовательности $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ... $ нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию а) длины 4? б) длины 5? Подсказка Рассмотрите дроби вида $\frac{m}{k!}$, где $1 \leq m \leqk$ Решение Ответ: а) Да, можно. $\frac{1}{24}автор koh - Задачки и головоломки
Сумма цифр трехзначного числа кратна 7, само число тоже делится на 7 - 3 месяца назад
Условие Сумма цифр трехзначного числа, все цифры которого различны, кратна 7, само число тоже делится на 7. Найдите все такие числа. Подсказка $100a + 10b + c$ делится на 7 $\rightarrow \; 2a + 3b + c$ делится на 7 Решение Ответ: 329, 392, 518, 581 $100a + 10b + c$ делится на 7 $\rightarrow \;2a + 3b + c$ делится на 7 и $a + b + c$ делится на 7 $\rightarrow \; b - c$ делится на 7автор koh - Задачки и головоломки
Три трехзначных числа из девяти цифр, которые относятся как 1:3:5 - 3 месяца назад
Условие Из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составьте три трехзначных числа, которые относятся как 1:3:5 Подсказка Легко найти первую цифру наименьшего числа и последнюю цифру наибольшего. Решение Ответ: 129, 387, 645 Первая цифра наименьшего числа равна 1. Последняя цифра наибольшего числа равна 5. Одна из последних цифр среднего и наименьшего чисел равна 9. Первая цифра савтор koh - Задачки и головоломки
Здравствуй, 2025! - 3 месяца назад
Условие Натуральное число умножили на каждую его из его цифр и получили $2025$. Найдите исходное число Подсказка $2025 = 3^4\cdot5^2$ Решение Ответ: $135$ $2025 = 135 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5$автор koh - Задачки и головоломки